A lâmina ocupa a região dentro do círculo , mas fora do círculo . Encontre o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for inversamente proporcional à sua distância da origem.
R:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o centro de massa de uma lâmina que está dentro de um círculo dado por e fora do círculo . Além disso, a densidade em qualquer ponto da lâmina é inversamente proporcional à distância desse ponto até a origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria dos círculos, coordenadas polares e cálculo de integrais para encontrar a massa e as coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde a lâmina está localizada. O círculo pode ser reescrito completando o quadrado:
Isso mostra que é um círculo de raio 1 centrado no ponto . Já o círculo tem raio 1 e está centrado na origem. Portanto, a lâmina está na região entre esses dois círculos.
Passo 3
Vamos usar coordenadas polares porque elas simplificam a descrição dos círculos. Em coordenadas polares, e . A distância do ponto à origem é simplesmente .
A densidade é inversamente proporcional à distância da origem, então podemos escrever:
onde é uma constante de proporcionalidade.
Passo 4
Para encontrar a massa total da lâmina, usamos a integral da densidade sobre a região:
Em coordenadas polares, o elemento de área . Substituindo a densidade:
Agora, precisamos determinar os limites de integração para e .
Passo 5
Os limites para vão do raio interno ao raio externo. O círculo maior reescrito em coordenadas polares fica:
Então, para cada , varia de 1 (do círculo menor) até (do círculo maior).
Para , como os círculos se intersectam acima do eixo , vai de 0 a .
Passo 6
Agora, a massa fica:
Integrando em relação a :
Passo 7
Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa . Como a densidade é simétrica em relação ao eixo , sabemos que .
Para , usamos:
Em coordenadas polares:
Passo 8
Calculando a integral interna:
Então:
Simplificando:
Passo 9
Calculando as integrais:
Sabemos que:
e
Portanto:
Substituindo :
Resposta
A massa da lâmina é e o centro de massa está localizado em .