Ache o raio e intervalo de convergência da série de potências: b) sumn=0^infty(-1)^n (x-3)^nn+1

Passo 1

Beleza, temos aqui um exercício que pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência de uma série de potências. A série que vamos analisar é:
sumn=0^infty(-1)^n (x-3)^nn+1
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que a série converge se o limite da razão entre termos sucessivos for menor que 1. Ou seja, queremos encontrar:
L = limn to infty | an+1an |
Onde .

Passo 3

Vamos calcular essa razão:
an+1an = (-1)^n+1 (x-3)^n+1(n+1)+1(-1)^n (x-3)^nn+1 = -(x-3)^n+1n+2 cdot n+1(x-3)^n = -(x-3)(n+1)n+2
Agora, vamos tirar o valor absoluto e calcular o limite:
L = limn to infty | -(x-3)(n+1)n+2 | = |x-3| cdot limn to infty n+1n+2 = |x-3| cdot 1 = |x-3|

Passo 4

Para a série convergir, precisamos que |x-3| < 1:
-1 < x - 3 < 1
Isso significa que:
2 < x < 4
Adicionando 3 em todos os lados da desigualdade:
Então, o raio de convergência é 1.

Passo 5

Agora, vamos verificar os pontos finais do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
  1. Quando sumn=0^infty(-1)^n (2-3)^nn+1 = sumn=0^infty(-1)^n (-1)^nn+1 = sumn=0^infty 1n+1:
A série se torna:
sumn=0^infty(-1)^n (4-3)^nn+1 = sumn=0^infty(-1)^n 1n+1
Essa é a série harmônica, que diverge.
  1. Quando :
A série se torna:
Essa é uma série alternada que satisfaz os critérios do Teste da Série Alternada (os termos diminuem e tendem a zero), então ela converge.

Resposta

O raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Prove as igualdades abaixo:
a) 1/raiz(3) * (1 - 1/9 + 1/45 - ... + (-1)^n / (3^n * (2n + 1)) ...) = pi/6
Usando séries de potências, prove que: b) lim x 0 1-cos x-12 x^2x^4=124
Ache o raio e intervalo de convergência da série de potências: c) sumn=1^infty(-1)^n 1n 6^n(2 x-1)^n
Prove as igualdades abaixo: d) 1+sumn=1^inftybinomraiz3n(0,75)^n=(1,75)^raiz3