Prove as igualdades abaixo: d) 1+sumn=1^inftybinomraiz3n(0,75)^n=(1,75)^raiz3

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que provar que:
1 + sumn=1^infty binomraiz3n times (0,75)^n = (1,75)^raiz3
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e coeficientes binomiais com expoentes que não são inteiros. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Binômio para Expoentes Reais, que nos permite expandir expressões como mesmo quando não é um número inteiro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente binomial binomkn = k times (k - 1) times (k - 2) times dots times (k - n + 1)n! quando não é um número inteiro. Ele é definido por:
Isso nos permite calcular termos de séries binomiais mesmo para expoentes reais, como no nosso caso.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema do Binômio. Esse teorema diz que para (1 + x)^k = sumn=0^infty binomkn x^n , temos:
No nosso exercício, queremos que . Então, .

Passo 4

Substituindo (1 + 0,75)^raiz3 = sumn=0^infty binomraiz3n times (0,75)^n e 1,75^raiz3 = sumn=0^infty binomraiz3n times (0,75)^n na fórmula do teorema, temos:
Simplificando o lado esquerdo:

Passo 5

Observamos que na soma acima, quando 1 + sumn=1^infty binomraiz3n times (0,75)^n = 1,75^raiz3 , e . Portanto, o termo para é 1.
Isso significa que podemos separar esse primeiro termo da soma:

Passo 6

Assim, mostramos que:
1 + sumn=1^infty binomraiz3n times (0,75)^n = (1,75)^raiz3
Essa é exatamente a igualdade que a questão nos pediu para provar.

Resposta

Prova concluída:
1 + sumn=1^infty binomraiz3n times (0,75)^n = (1,75)^raiz3

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