Prove as igualdades abaixo: d)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que provar que:
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e coeficientes binomiais com expoentes que não são inteiros. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Binômio para Expoentes Reais, que nos permite expandir expressões como
mesmo quando
não é um número inteiro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente binomial
quando
não é um número inteiro. Ele é definido por:
Isso nos permite calcular termos de séries binomiais mesmo para expoentes reais, como
no nosso caso.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema do Binômio. Esse teorema diz que para
, temos:
No nosso exercício, queremos que
. Então,
.
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula do teorema, temos:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 5
Observamos que na soma acima, quando
,
e
. Portanto, o termo para
é 1.
Isso significa que podemos separar esse primeiro termo da soma:
Passo 6
Assim, mostramos que:
Essa é exatamente a igualdade que a questão nos pediu para provar.
Resposta
Prova concluída:
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