Ache o raio e intervalo de convergência da série de potências: c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão pede é para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a razão geral da série, que é:
O próximo passo no Teste da Razão é calcular o limite da razão entre termos consecutivos:
Passo 3
Vamos calcular essa razão:
Agora, vamos tirar o valor absoluto e calcular o limite:
Passo 4
Para a série converger, o limite
|2x -1|6 < 1 deve ser menor que 1:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de
que satisfazem a condição.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por 6:
Isso significa que a expressão dentro do valor absoluto deve estar entre -6 e 6:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
-5 < 2x < 7 :
- Adicionando 1 em todos os lados:
- Dividindo todos os lados por 2:
Passo 7
O raio de convergência
R = 62 = 3 é a metade do intervalo de convergência. Como o intervalo vai de -2.5 a 3.5, o comprimento total é
, então:
Passo 8
Agora, precisamos verificar os pontos finais do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
- Para
:2(-2.5) -1 = -5 -1 = -6
A série se torna:
Essa é a série harmônica, que não converge.
- Para
:sumn=1^infty (-1)^n 1n cdot 6^n (6)^n = sumn=1^infty (-1)^n 6^nn cdot 6^n = sumn=1^infty (-1)^nn
A série se torna:
Essa é a série alternada harmônica, que converge.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.