Ache o raio e intervalo de convergência da série de potências: c) sumn=1^infty(-1)^n 1n 6^n(2 x-1)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão pede é para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (-1)^n 1n cdot 6^n (2x -1)^n
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a razão geral da série, que é:
an = (-1)^n 1n cdot 6^n (2x -1)^n
O próximo passo no Teste da Razão é calcular o limite da razão entre termos consecutivos:
L = limn to infty | an+1an |

Passo 3

Vamos calcular essa razão:
an+1an = (-1)^n+1 1(n+1) cdot 6^n+1 (2x -1)^n+1(-1)^n 1n cdot 6^n (2x -1)^n = - nn+1 cdot 16 cdot (2x -1)
Agora, vamos tirar o valor absoluto e calcular o limite:
L = limn to infty | - nn+1 cdot 16 cdot (2x -1) | = limn to infty nn+1 cdot |2x -1|6 = |2x -1|6

Passo 4

Para a série converger, o limite |2x -1|6 < 1 deve ser menor que 1:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de que satisfazem a condição.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 6:
|2x -1| < 6
Isso significa que a expressão dentro do valor absoluto deve estar entre -6 e 6:
-6 < 2x -1 < 6

Passo 6

Agora, vamos resolver para -5 < 2x < 7 :
  1. Adicionando 1 em todos os lados:
-2.5 < x < 3.5
  1. Dividindo todos os lados por 2:

Passo 7

O raio de convergência R = 62 = 3 é a metade do intervalo de convergência. Como o intervalo vai de -2.5 a 3.5, o comprimento total é , então:

Passo 8

Agora, precisamos verificar os pontos finais do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
  1. Para 2(-2.5) -1 = -5 -1 = -6 :
sumn=1^infty (-1)^n 1n cdot 6^n (-6)^n = sumn=1^infty (-1)^n (-6)^nn cdot 6^n = sumn=1^infty (-1)^n (-1)^nn = sumn=1^infty 1n
A série se torna:
2(3.5) -1 = 7 -1 = 6
Essa é a série harmônica, que não converge.
  1. Para sumn=1^infty (-1)^n 1n cdot 6^n (6)^n = sumn=1^infty (-1)^n 6^nn cdot 6^n = sumn=1^infty (-1)^nn :
A série se torna:
Essa é a série alternada harmônica, que converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Ache o raio e intervalo de convergência da série de potências: b) sumn=0^infty(-1)^n (x-3)^nn+1
Prove as igualdades abaixo:
a) 1/raiz(3) * (1 - 1/9 + 1/45 - ... + (-1)^n / (3^n * (2n + 1)) ...) = pi/6
Prove as igualdades abaixo: d) 1+sumn=1^inftybinomraiz3n(0,75)^n=(1,75)^raiz3
Prove as igualdades abaixo: b) sumn=1^infty n2^n-1=4