Prove as igualdades abaixo: b) sumn=1^infty n2^n-1=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a soma infinita da série sumn=1^infty n2^n-1 é igual a 4. Vamos usar conhecimentos de séries geométricas e algumas técnicas de álgebra para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, observe que n2^n-1 pode ser reescrito como 2 cdot n2^n. Isso simplifica a expressão para 2 sumn=1^infty n2^n.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a soma sumn=1^infty n2^n. Sabemos que para uma série geométrica onde cada termo é n cdot r^n, a soma infinita é dada por r(1 - r)^2, desde que |r| < 1.

Passo 4

No nosso caso, r = 12. Substituindo na fórmula, temos:
sumn=1^infty n (12)^n = 12(1 - 12)^2 = 12(12)^2 = 1214 = 2

Passo 5

Voltando à nossa expressão inicial, multiplicamos esse resultado por 2:
2 cdot 2 = 4

Resposta

4

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