Ache o raio e o intervalo de convergência da série de potências: pt)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada por:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Ele funciona assim: se a gente tem uma série , a gente calcula o limite:
Se , a série converge; se , ela diverge; e se , o teste não consegue dizer nada.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Aqui, an+1an = (n+1)^22^n+1 x^n+1 times 2^nn^2 x^n = (n+1)^22 n^2 x . Então, vamos calcular :
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando L = limn to infty | (n+1)^22 n^2 x | tende ao infinito:
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
Expandindo L = limn to infty | n^2 + 2n + 12 n^2 x | = limn to infty | 1 + 2n + 1n^22 x | = | 12 x | :
Então,
Passo 5
Para a série convergir, precisamos que | 12 x | < 1 implies |x| < 2 :
Isso significa que o raio de convergência é 2.
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência, que inicialmente é sumn=0^infty n^22^n times 2^n = sumn=0^infty n^2 . Porém, precisamos verificar os pontos finais sumn=0^infty n^22^n times (-2)^n = sumn=0^infty n^2 (-1)^n e para ver se a série converge nesses valores.
Para :
Essa série é a soma dos quadrados dos números naturais, que diverge.
Para :
Essa série também diverge porque os termos não tendem a zero.