Ache o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
pt)
13

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada por:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Ele funciona assim: se a gente tem uma série , a gente calcula o limite:
Se , a série converge; se , ela diverge; e se , o teste não consegue dizer nada.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Aqui, . Então, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando tende ao infinito:
Expandindo :
Então,

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que :
Isso significa que o raio de convergência é 2.

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência, que inicialmente é . Porém, precisamos verificar os pontos finais e para ver se a série converge nesses valores.
  1. Para :
Essa série é a soma dos quadrados dos números naturais, que diverge.
  1. Para :
Essa série também diverge porque os termos não tendem a zero.

Resposta

Raio de convergência:
Intervalo de convergência:

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