Determine a convergência ou não das séries:
1,0
1,0
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício de séries infinitas. O enunciado pede para a gente determinar se a série
converge ou não. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo, especificamente o teste da razão, que ajuda a verificar a convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série infinita. Uma série é a soma de termos que continuam indefinidamente. No nosso caso, cada termo da série é
.
Passo 3
Para testar a convergência dessa série, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste é útil quando os termos da série envolvem fatorial ou exponenciais. A ideia é calcular o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual quando
tende ao infinito.
Passo 4
Vamos definir
. Agora, calculamos
:
Agora, vamos calcular a razão
:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agora, dividimos numerador e denominador por
para facilitar:
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
tende a zero quando
vai para o infinito. Então:
E
tende a zero conforme
cresce.
Passo 7
De acordo com o Teste da Razão, se o limite da razão
é menor que 1, a série converge absolutamente. No nosso caso, o limite é zero, que é menor que 1.
Resposta
Portanto, a série
converge.
Exercícios relacionados
Seja a série:
, calcule
e
.
Calcule o limite da sequência:
(1,0 pt)
(1,0 pt)
Determine a convergência ou não das séries:
1,0
1,0
Ache o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
pt)
13
13