Determine a convergência ou não das séries:
sumn=1^infty 10+2^nn!
1,0

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício de séries infinitas. O enunciado pede para a gente determinar se a série converge ou não. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo, especificamente o teste da razão, que ajuda a verificar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série infinita. Uma série é a soma de termos que continuam indefinidamente. No nosso caso, cada termo da série é .

Passo 3

Para testar a convergência dessa série, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste é útil quando os termos da série envolvem fatorial ou exponenciais. A ideia é calcular o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual quando tende ao infinito.

Passo 4

Vamos definir an+1 = 10 + 2^n+1(n+1)! . Agora, calculamos an+1an = 10 + 2^n+1(n+1)!10 + 2^nn! = 10 + 2^n+1(n+1)(10 + 2^n) :
Agora, vamos calcular a razão :

Passo 5

Simplificando a expressão:
an+1an = 10 + 2 cdot 2^n(n+1)(10 + 2^n) = 10 + 2^n+1(n+1)(10 + 2^n)
Agora, dividimos numerador e denominador por an+1an = 102^n + 2(n+1)(102^n + 1) para facilitar:

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite quando limn to infty an+1an = limn to infty 102^n + 2(n+1)(102^n + 1) tende ao infinito:
limn to infty an+1an = 0 + 2(n+1)(0 + 1) = 2n+1
Sabemos que tende a zero quando vai para o infinito. Então:
E tende a zero conforme cresce.

Passo 7

De acordo com o Teste da Razão, se o limite da razão é menor que 1, a série converge absolutamente. No nosso caso, o limite é zero, que é menor que 1.

Resposta

Portanto, a série converge.

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