Calcule integral duplaS(F cdot n) d S, onde: F=(y, z, x z) e S é a superfície do sólido W, onde W=(x, y, z) in $\left.\mathb …
5d
Calcule mathb 5d Calcu<= , onde: , onde: e e é a superfície do sólido é a superfície do sólido , onde , onde e e , com vetor normal exterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde . A superfície é a fronteira de um sólido definido por e . Vamos usar o Teorema da Divergência para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o Teorema da Divergência diz. Ele relaciona a integral de superfície de um campo vetorial integral duplaS(F cdot n) , dS = integral triplaW (nabla cdot F) , dV atravessando uma superfície fechada com a integral de volume da divergência de dentro do sólido :

Passo 3

Vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial xpartial x + partial ypartial y + partial zpartial z = 1 + 1 + 1 = 3
Para :

Passo 4

Agora, nossa integral de superfície virou uma integral de volume:
integral duplaS(F cdot n) , dS = integral triplaW 3 , dV = 3 times Volume(W)
Então, precisamos calcular o volume do sólido .

Passo 5

O sólido é definido por (um cilindro de raio 1) e (uma esfera de raio 2). Para facilitar, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde , e .

Passo 6

Em coordenadas cilíndricas, os limites de integração são:
0 <= r <= 1 0 <= theta <= 2pi -raiz4 - r^2 <= z <= raiz4 - r^2
Então, o volume V = integral0^2pi integral0^1 integral-raiz4 - r^2^raiz4 - r^2 r , dz , dr , dtheta é:

Passo 7

Vamos resolver a integral em integral-raiz4 - r^2^raiz4 - r^2 dz = 2raiz4 - r^2 primeiro:
V = integral0^2pi integral0^1 2rraiz4 - r^2 , dr , dtheta
Então, o volume fica:

Passo 8

Integrando em V = 2raiz4 - r^2 times integral0^2pi dtheta = 2raiz4 - r^2 times 2pi = 4pi raiz4 - r^2 :
V = integral0^1 4pi r raiz4 - r^2 , dr
Então, a integral agora é:

Passo 9

Vamos resolver a integral em V = 4pi times ( -12 integral4^3 raizu , du ) = 4pi times 12 integral3^4 raizu , du usando substituição. Seja , então ou . Quando , ; e quando , .
Substituindo:

Passo 10

Calculando a integral:
integral raizu , du = 23 u^3/2
Aplicando os limites:
23 (4^3/2 - 3^3/2) = 23 (8 - 3raiz3)
Então, o volume V = 4pi times 12 times 23 (8 - 3raiz3) = 4pi times 8 - 3raiz33 = 32pi3 - 4piraiz3 é:

Passo 11

Finalmente, lembrando que a integral de superfície é integral duplaS(F cdot n) , dS = 3 ( 32pi3 - 4piraiz3 ) = 32pi - 12piraiz3 :

Resposta

integral duplaS(F cdot n) , dS = 32pi - 12piraiz3

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