Calcule , onde: e é a superfície do sólido , onde $\left.\mathb …
5d
Calcule , onde: e é a superfície do sólido , onde e , com vetor normal exterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde . A superfície é a fronteira de um sólido definido por e . Vamos usar o Teorema da Divergência para simplificar essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o Teorema da Divergência diz. Ele relaciona a integral de superfície de um campo vetorial atravessando uma superfície fechada com a integral de volume da divergência de dentro do sólido :
Passo 3
Vamos calcular a divergência de . A divergência é dada por:
Para :
Passo 4
Agora, nossa integral de superfície virou uma integral de volume:
Então, precisamos calcular o volume do sólido .
Passo 5
O sólido é definido por (um cilindro de raio 1) e (uma esfera de raio 2). Para facilitar, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde , e .
Passo 6
Em coordenadas cilíndricas, os limites de integração são:
Então, o volume V = integral0^2pi integral0^1 integral-raiz4 - r^2^raiz4 - r^2 r , dz , dr , dtheta é:
Passo 7
Vamos resolver a integral em integral-raiz4 - r^2^raiz4 - r^2 dz = 2raiz4 - r^2 primeiro:
V = integral0^2pi integral0^1 2rraiz4 - r^2 , dr , dtheta
Então, o volume fica:
Passo 8
Integrando em V = 2raiz4 - r^2 times integral0^2pi dtheta = 2raiz4 - r^2 times 2pi = 4pi raiz4 - r^2 :
V = integral0^1 4pi r raiz4 - r^2 , dr
Então, a integral agora é:
Passo 9
Vamos resolver a integral em V = 4pi times ( -12 integral4^3 raizu , du ) = 4pi times 12 integral3^4 raizu , du usando substituição. Seja , então ou . Quando , ; e quando , .
Substituindo:
Passo 10
Calculando a integral:
integral raizu , du = 23 u^3/2
Aplicando os limites:
23 (4^3/2 - 3^3/2) = 23 (8 - 3raiz3)
Então, o volume V = 4pi times 12 times 23 (8 - 3raiz3) = 4pi times 8 - 3raiz33 = 32pi3 - 4piraiz3 é:
Passo 11
Finalmente, lembrando que a integral de superfície é integral duplaS(F cdot n) , dS = 3 ( 32pi3 - 4piraiz3 ) = 32pi - 12piraiz3 :