Calcule , onde: e é a superfície do sólido , onde $\left.\mathb …
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Calcule , onde: e é a superfície do sólido , onde e , com vetor normal exterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde . A superfície é a fronteira de um sólido definido por e . Vamos usar o Teorema da Divergência para simplificar essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o Teorema da Divergência diz. Ele relaciona a integral de superfície de um campo vetorial atravessando uma superfície fechada com a integral de volume da divergência de dentro do sólido :
Passo 3
Vamos calcular a divergência de . A divergência é dada por:
Para :
Passo 4
Agora, nossa integral de superfície virou uma integral de volume:
Então, precisamos calcular o volume do sólido .
Passo 5
O sólido é definido por (um cilindro de raio 1) e (uma esfera de raio 2). Para facilitar, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde , e .
Passo 6
Em coordenadas cilíndricas, os limites de integração são:
Então, o volume é:
Passo 7
Vamos resolver a integral em primeiro:
Então, o volume fica:
Passo 8
Integrando em :
Então, a integral agora é:
Passo 9
Vamos resolver a integral em usando substituição. Seja , então ou . Quando , ; e quando , .
Substituindo:
Passo 10
Calculando a integral:
Aplicando os limites:
Então, o volume é:
Passo 11
Finalmente, lembrando que a integral de superfície é :