Calcule integral duplaS(F cdot n) d S, onde: F=(-3 x y z^2, x+2 z y-2 x z^4, y z^3-z^2) e S é a união das superfícies 1=x^2+y^2, 0 <= z <= 1 e x^2+y^2 <= 1, indicando a orientação escolhida para S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície integral duplaS(F cdot n) dS, onde a função vetorial F e a superfície S são especificadas. Aqui, estamos lidando com Cálculo Vetorial, especificamente com integrais de superfície e o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o fluxo usando a definição direta da integral de superfície ou aplicar o Teorema da Divergência para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. Ela é a união de duas partes:
  1. A superfície lateral do cilindro x^2 + y^2 = 1 com 0 <= z <= 1.
  2. As bases superior e inferior do cilindro, que são os discos x^2 + y^2 <= 1 nos planos z=0 e z=1.
Juntas, essas superfícies formam um cilindro fechado. A orientação escolhida para S não foi especificada, mas geralmente assume-se que seja para fora.

Passo 3

Vamos optar por usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície do fluxo de F através de S com a integral de volume da divergência de F dentro de S. Isso pode simplificar bastante nossos cálculos.
O Teorema da Divergência diz:
integral duplaS (F cdot n) dS = integral triplaV (nabla cdot F) dV
Onde V é o volume delimitado por S.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a divergência de F. A função vetorial dada é:
F = (-3xy z^2, x + 2z y - 2x z^4, y z^3 - z^2)
A divergência de F, nabla cdot F, é:
nabla cdot F = partialpartial x(-3xy z^2) + partialpartial y(x + 2zy - 2xz^4) + partialpartial z(y z^3 - z^2)
Calculando cada derivada:
  • partialpartial x(-3xy z^2) = -3y z^2
  • partialpartial y(x + 2zy - 2xz^4) = 2z
  • partialpartial z(y z^3 - z^2) = 3y z^2 - 2z
Então,
nabla cdot F = -3y z^2 + 2z + 3y z^2 - 2z = 0

Passo 5

Com a divergência sendo zero, a integral de volume também será zero:
integral triplaV (nabla cdot F) dV = integral triplaV 0 dV = 0
Portanto, pelo Teorema da Divergência:
integral duplaS (F cdot n) dS = 0

Resposta

A integral de superfície integral duplaS(F cdot n) dS é igual a 0.

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