Calcule
, onde:
e
é a união das superfícies
e
, indicando a orientação escolhida para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície
, onde a função vetorial
e a superfície
são especificadas. Aqui, estamos lidando com Cálculo Vetorial, especificamente com integrais de superfície e o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o fluxo usando a definição direta da integral de superfície ou aplicar o Teorema da Divergência para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. Ela é a união de duas partes:
- A superfície lateral do cilindro
com . - As bases superior e inferior do cilindro, que são os discos
nos planos e .
Juntas, essas superfícies formam um cilindro fechado. A orientação escolhida para
não foi especificada, mas geralmente assume-se que seja para fora.
Passo 3
Vamos optar por usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície do fluxo de
através de
com a integral de volume da divergência de
dentro de
. Isso pode simplificar bastante nossos cálculos.
O Teorema da Divergência diz:
Onde
é o volume delimitado por
.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a divergência de
. A função vetorial dada é:
A divergência de
,
, é:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 5
Com a divergência sendo zero, a integral de volume também será zero:
Portanto, pelo Teorema da Divergência:
Resposta
A integral de superfície
é igual a 0.