Determine a convergência ou não das séries:
sumn=1^infty(-1)^n+1 1n^2+7
1,0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty(-1)^n+1 1n^2+7 converge ou não. Estamos lidando com séries alternadas aqui, onde os termos mudam de sinal a cada parcela. Para resolver isso, vamos verificar alguns critérios de convergência de séries alternadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série sem considerar o sinal alternado. Nesse caso, o termo é bn = 1n^2+7. Precisamos verificar duas coisas:
  1. Os termos estão diminuindo?
    Observando bn, conforme n aumenta, o denominador n^2+7 também aumenta, o que faz com que bn diminua. Então, sim, os termos estão diminuindo.
  2. O limite dos termos tende a zero?
    Calculando o limite:
    limn to infty 1n^2+7 = 0
    Portanto, o limite dos termos é zero.

Passo 3

Como os dois critérios acima são atendidos (termos positivos, decrescentes e com limite zero), podemos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste nos diz que se uma série alternada satisfaz essas condições, então ela converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n+1 1n^2+7 converge.

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