d) Ache as raízes de
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as raízes do polinômio
no conjunto dos números complexos
. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de álgebra, especificamente sobre polinômios e suas raízes. Vamos precisar também entender como trabalhar com séries geométricas e números complexos.
Passo 2
Primeiro, observe que os coeficientes do polinômio estão dobrando a cada termo: 1, 2, 4, 8, e assim por diante, até 128. Isso nos dá uma dica importante de que podemos expressar esse polinômio como uma soma de uma série geométrica. A série geométrica é uma soma onde cada termo é um múltiplo constante do termo anterior.
Passo 3
Vamos reescrever o polinômio usando a fórmula da soma de uma série geométrica finita. A soma de uma série geométrica finita é dada por:
onde
é o primeiro termo,
é a razão, e
é o número de termos. No nosso caso,
,
, e
(pois temos de
a
). Então, podemos reescrever o polinômio assim:
Passo 4
Para encontrar as raízes de
, queremos resolver
. Isso acontece quando o numerador é zero, ou seja:
Resolvendo para
:
Isso significa que estamos procurando as raízes de
, ou seja, as raízes 8ª de
.
Passo 5
As raízes de uma equação como
no conjunto dos números complexos podem ser expressas usando a fórmula de Euler. As raízes são distribuídas uniformemente no círculo complexo de raio
. Para o nosso caso:
onde
. Simplificando:
Portanto, as raízes são:
Resposta
As raízes de
em
são: