Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as raízes do polinômio no conjunto dos números complexos . Para isso, vamos utilizar conhecimentos de álgebra, especificamente sobre polinômios e suas raízes. Vamos precisar também entender como trabalhar com séries geométricas e números complexos.
Passo 2
Primeiro, observe que os coeficientes do polinômio estão dobrando a cada termo: 1, 2, 4, 8, e assim por diante, até 128. Isso nos dá uma dica importante de que podemos expressar esse polinômio como uma soma de uma série geométrica. A série geométrica é uma soma onde cada termo é um múltiplo constante do termo anterior.
Passo 3
Vamos reescrever o polinômio usando a fórmula da soma de uma série geométrica finita. A soma de uma série geométrica finita é dada por:
onde é o primeiro termo, é a razão, e é o número de termos. No nosso caso, , , e (pois temos de a ). Então, podemos reescrever o polinômio assim:
Passo 4
Para encontrar as raízes de , queremos resolver . Isso acontece quando o numerador é zero, ou seja:
Resolvendo para :
Isso significa que estamos procurando as raízes de , ou seja, as raízes 8ª de .
Passo 5
As raízes de uma equação como no conjunto dos números complexos podem ser expressas usando a fórmula de Euler. As raízes são distribuídas uniformemente no círculo complexo de raio . Para o nosso caso: