Prove as seguintes unicidades: Se para todo , então, .

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para provar que, se multiplicarmos qualquer número real por e o resultado for sempre , então precisa ser 1. Isso está relacionado ao conteúdo de propriedades dos números reais e unicidade de soluções em equações. Para resolver, vamos usar propriedades básicas da multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que a questão nos dá:
Isso significa que, para qualquer número real , quando multiplicamos por , obtemos de volta.

Passo 3

Vamos tentar isolar na equação. Para isso, podemos dividir ambos os lados da equação por (desde que ):
Simplificando, temos:
Isso mostra que, para que a equação seja verdadeira para qualquer , deve ser igual a 1.

Passo 4

Agora, precisamos verificar o caso quando . Nesse caso, a equação fica:
Isso é verdadeiro para qualquer valor de , mas já estabelecemos que para . Portanto, a única solução que funciona para todo é .

Resposta

Assim, provamos que se para todo , então necessariamente .

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d) Ache as raízes de em
Prove as seguintes unicidades: Se para algum , então, .
Prove as seguintes unicidades: Se , então, .
a) Exiba todos os polinômios em que são irredutíveis sobre