Prove as seguintes unicidades: Se
para todo
, então,
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para provar que, se multiplicarmos qualquer número real
por
e o resultado for sempre
, então
precisa ser 1. Isso está relacionado ao conteúdo de propriedades dos números reais e unicidade de soluções em equações. Para resolver, vamos usar propriedades básicas da multiplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que a questão nos dá:
Isso significa que, para qualquer número real
, quando multiplicamos
por
, obtemos
de volta.
Passo 3
Vamos tentar isolar
na equação. Para isso, podemos dividir ambos os lados da equação por
(desde que
):
Simplificando, temos:
Isso mostra que, para que a equação seja verdadeira para qualquer
,
deve ser igual a 1.
Passo 4
Agora, precisamos verificar o caso quando
. Nesse caso, a equação fica:
Isso é verdadeiro para qualquer valor de
, mas já estabelecemos que
para
. Portanto, a única solução que funciona para todo
é
.
Resposta
Assim, provamos que se
para todo
, então necessariamente
.
Exercícios relacionados
d) Ache as raízes de
em
Prove as seguintes unicidades: Se
para algum
, então,
.
Prove as seguintes unicidades: Se
, então,
.
a) Exiba todos os polinômios em
que são irredutíveis sobre