Resolva os seguintes Problemas de Contorno
l ux x+uy y=0, forall(x, y) in(0, L) times(0, M) u(0, y)=u(L, y)=u(x, 0)=0 para x in(0, L) e y in(0, M) u(x, M)=f(x), forall x in(0, L)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema de contorno que você enviou. A gente está lidando com equações diferenciais parciais, especificamente a equação de Laplace, que é usada para modelar situações estáticas como a distribuição de temperatura em uma placa. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, identifique a equação diferencial dada:
uxx + uyy = 0
Essa é a equação de Laplace, que descreve como a função se comporta no retângulo definido por .

Passo 3

Agora, vejamos as condições de contorno:
  1. Em u(0, y) = u(L, y) = 0 e u(x, 0) = 0 : u(x, M) = f(x)
  2. Em :
  3. Em :
Essas condições nos dizem como se comporta nas bordas do retângulo.

Passo 4

Vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como produto de funções de u(x, y) = X(x) Y(y) e :

Passo 5

Substituindo X''(x) Y(y) + X(x) Y''(y) = 0 na equação de Laplace:
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0
Dividindo ambos os lados por X''(x)X(x) = -Y''(y)Y(y) = lambda :
Isso nos leva a:
Onde é uma constante separadora.

Passo 6

Resolvemos as equações separadas:
Para X''(x) - lambda X(x) = 0 :
Y''(y) + lambda Y(y) = 0
E para :

Passo 7

Aplicamos as condições de contorno em X(0) = X(L) = 0 e :
Isso sugere que deve ser escolhido de forma que as soluções não-triviais existam, ou seja, , onde é um número inteiro positivo.

Passo 8

As soluções para Xn(x) = sin(npi xL) e Yn(y) = An sinh(npi yL) + Bn cosh(npi yL) são então:
Aplicando a condição , temos .

Passo 9

A condição f(x) = sumn=1^infty Cn sin(npi xL) nos leva a expandir Cn = 2L integral0^L f(x) sin(npi xL) dx em uma série de senos:
Os coeficientes são encontrados usando a fórmula da série de Fourier:

Passo 10

Finalmente, a solução geral para u(x, y) = sumn=1^infty Cn sin(npi xL) sinh(npi yL) é:

Resposta

A solução do problema de contorno é dada por:
u(x, y) = sumn=1^infty ( 2L integral0^L f(xi) sin(npi xiL) dxi ) sin(npi xL) sinh(npi yL)

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