Prove as seguintes unicidades: Se para algum , então, .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação e queremos provar que . Para isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra, especificamente a propriedade da identidade aditiva, que nos diz que adicionar zero a qualquer número não muda o valor desse número.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, estamos somando a e o resultado continua sendo . Isso implica que não está realmente adicionando nada a .

Passo 3

Para descobrir o valor de , vamos isolar na equação. Podemos fazer isso subtraindo de ambos os lados da equação:

Passo 4

Ao simplificar os dois lados, temos:
Do lado esquerdo, cancela e resta apenas . Do lado direito, .

Resposta

Portanto, mostramos que se , então .

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Adotando que o Laplaciano de uma função em coordenadas polares é dado por:
Resolva o seguinte Problema de Contorno:
d) Ache as raízes de em
Prove as seguintes unicidades: Se para todo , então, .