Ache a receita marginal
, e mostre que ela é sempre decrescente, mas nunca se anula.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a receita marginal denotada por
e mostrar que ela está sempre diminuindo, mas nunca chega a zero. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas, já que a receita marginal é a derivada da função receita em relação à quantidade produzida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é receita marginal. A receita marginal é a quantidade adicional de receita que a empresa ganha ao vender uma unidade extra de produto. Matematicamente, ela é calculada como a derivada da função receita total
em relação à quantidade
.
Então,
.
Passo 3
Vamos supor que a função receita total
seja dada por:
Onde
é a função que representa o preço do produto em função da quantidade vendida
.
Passo 4
Para encontrar a receita marginal, precisamos derivar
em relação a
. Usando a regra do produto na derivação, temos:
Aqui,
é a derivada do preço em relação a
.
Passo 5
Agora, vamos analisar se a receita marginal está sempre decrescendo. Isso depende do sinal da segunda derivada de
, ou seja,
.
Calculando
:
Se assumirmos que a função preço
é uma função decrescente (como geralmente acontece no mercado, onde aumentar a quantidade tende a reduzir o preço), então
e
.
Passo 6
Com base nisso,
será negativo porque
, que é negativo, domina o termo
. Assim, a segunda derivada é negativa, indicando que a receita marginal está sempre decrescendo.
Passo 7
Por fim, vamos verificar se a receita marginal nunca se anula, ou seja, se
para todo
. Como a função preço
é positiva e decrescente, e
é positivo, a receita marginal
continuará sendo positiva mesmo à medida que
aumenta, desde que
não se anule.
Resposta
A receita marginal é dada por
, e ela está sempre decrescendo, mas nunca chega a zero.
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Calcule as seguintes integrais:
Obtenha a derivada das funções abaixo: