Ache a receita marginal Rmg(x), e mostre que ela é sempre decrescente, mas nunca se anula.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a receita marginal denotada por Rmg(x) e mostrar que ela está sempre diminuindo, mas nunca chega a zero. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas, já que a receita marginal é a derivada da função receita em relação à quantidade produzida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é receita marginal. A receita marginal é a quantidade adicional de receita que a empresa ganha ao vender uma unidade extra de produto. Matematicamente, ela é calculada como a derivada da função receita total R(x) em relação à quantidade x.
Então, .

Passo 3

Vamos supor que a função receita total R(x) seja dada por:
Onde p(x) é a função que representa o preço do produto em função da quantidade vendida x.

Passo 4

Para encontrar a receita marginal, precisamos derivar R(x) em relação a x. Usando a regra do produto na derivação, temos:
Aqui, é a derivada do preço em relação a x.

Passo 5

Agora, vamos analisar se a receita marginal está sempre decrescendo. Isso depende do sinal da segunda derivada de R(x), ou seja, .
Calculando :
Se assumirmos que a função preço p(x) é uma função decrescente (como geralmente acontece no mercado, onde aumentar a quantidade tende a reduzir o preço), então e .

Passo 6

Com base nisso, será negativo porque , que é negativo, domina o termo . Assim, a segunda derivada é negativa, indicando que a receita marginal está sempre decrescendo.

Passo 7

Por fim, vamos verificar se a receita marginal nunca se anula, ou seja, se para todo x. Como a função preço p(x) é positiva e decrescente, e x é positivo, a receita marginal continuará sendo positiva mesmo à medida que x aumenta, desde que p(x) não se anule.

Resposta

A receita marginal é dada por , e ela está sempre decrescendo, mas nunca chega a zero.

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