Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Vamos calcular a integral definida
. Nesta questão, estamos trabalhando com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica a expressão e facilita a integração.
Passo 2
Primeiro, lembramos da identidade trigonométrica que transforma
em termos mais fáceis de integrar:
Essa identidade é útil porque converte o seno ao quadrado em uma expressão que envolve o cosseno de um ângulo duplo, simplificando a integral.
Passo 3
Aplicando essa identidade à nossa integral, temos:
Passo 4
Agora, podemos separar a integral em duas partes:
Passo 5
Calculando a primeira integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda integral. Para isso, usamos a substituição
, o que nos dá
ou
. Assim:
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que
, então:
Resposta
Portanto, a integral
é igual a
.
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Ache a receita marginal
, e mostre que ela é sempre decrescente, mas nunca se anula.