Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Vamos calcular a integral definida . Nesta questão, estamos trabalhando com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica a expressão e facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, lembramos da identidade trigonométrica que transforma em termos mais fáceis de integrar:
Essa identidade é útil porque converte o seno ao quadrado em uma expressão que envolve o cosseno de um ângulo duplo, simplificando a integral.

Passo 3

Aplicando essa identidade à nossa integral, temos:

Passo 4

Agora, podemos separar a integral em duas partes:

Passo 5

Calculando a primeira integral:

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda integral. Para isso, usamos a substituição , o que nos dá ou . Assim:
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, a integral é igual a .

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Ache a receita marginal , e mostre que ela é sempre decrescente, mas nunca se anula.