Calcule as seguintes integrais: integral0^pi / 2 sen^2(13 theta) d theta

Passo 1

Vamos calcular a integral definida integral0^pi / 2 sen^2(13 theta) d theta. Nesta questão, estamos trabalhando com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica a expressão e facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, lembramos da identidade trigonométrica que transforma sen^2(x) em termos mais fáceis de integrar:
sen^2(x) = 1 - cos(2x)2
Essa identidade é útil porque converte o seno ao quadrado em uma expressão que envolve o cosseno de um ângulo duplo, simplificando a integral.

Passo 3

Aplicando essa identidade à nossa integral, temos:
integral0^pi / 2 sen^2(13 theta) d theta = integral0^pi / 2 1 - cos(23 theta)2 d theta

Passo 4

Agora, podemos separar a integral em duas partes:
12 integral0^pi / 2 1 , dtheta - 12 integral0^pi / 2 cos(23 theta) dtheta

Passo 5

Calculando a primeira integral:
12 integral0^pi / 2 1 , dtheta = 12 [ theta ]0^pi / 2 = 12 ( pi2 - 0 ) = pi4

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda integral. Para isso, usamos a substituição u = 23 theta, o que nos dá du = 23 dtheta ou dtheta = 32 du. Assim:
integral cos(23 theta) dtheta = 32 integral cos(u) du = 32 sin(u) + C = 32 sin(23 theta) + C
Aplicando os limites de integração:
12 cdot 32 [ sin(23 theta) ]0^pi / 2 = 34 ( sin(23 cdot pi2) - sin(0) ) = 34 sin( pi3 )
Sabemos que sin( pi3 ) = raiz32, então:
34 cdot raiz32 = 3raiz38

Resposta

Portanto, a integral integral0^pi / 2 sen^2(13 theta) d theta é igual a pi4 - 3raiz38.

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