I=integral cos x cdot cosec x cdot cotg x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo envolvendo uma integral com funções trigonométricas. O que vamos precisar é entender como simplificar expressões trigonométricas e aplicar técnicas de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a expressão que temos dentro da integral:
integral cos x cdot cosec x cdot cotg x , dx
Sabemos que:
  • cosec, x = 1sin x
  • cotg, x = cos xsin x

Passo 3

Vamos substituir essas identidades na integral para simplificar:
integral cos x cdot 1sin x cdot cos xsin x , dx = integral cos^2 xsin^2 x , dx
Agora, percebemos que cos^2 xsin^2 x é igual a cot^2 x, então podemos reescrever a integral como:
integral cot^2 x , dx

Passo 4

Sabemos que a integral de cot^2 x pode ser simplificada usando a identidade trigonométrica:
cot^2 x = cosec^2 x - 1
Então, substituímos na integral:
integral (cosec^2 x - 1) , dx = integral cosec^2 x , dx - integral 1 , dx
A integral de cosec^2 x é -cot x, e a integral de 1 é x. Portanto:
-cot x - x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral vale - cot x - x + C.

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