Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo envolvendo uma integral com funções trigonométricas. O que vamos precisar é entender como simplificar expressões trigonométricas e aplicar técnicas de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a expressão que temos dentro da integral:
Sabemos que:

Passo 3

Vamos substituir essas identidades na integral para simplificar:
Agora, percebemos que é igual a , então podemos reescrever a integral como:

Passo 4

Sabemos que a integral de pode ser simplificada usando a identidade trigonométrica:
Então, substituímos na integral:
A integral de é , e a integral de é . Portanto:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral vale .

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Ache a receita marginal , e mostre que ela é sempre decrescente, mas nunca se anula.
Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções:
(constante)
Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções: