Ache uma representação em série de potências para a integral dada e determine o seu raio de convergência:
(d) integral2^x d t4-t d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para achar uma representação em série de potências para a integral e determinar o raio de convergência dessa série. Vamos usar conceitos de cálculo e séries para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série de potências. Basicamente, é uma expressão como , onde são os coeficientes e é o centro da série. Nosso objetivo é escrever a integral dada nessa forma.

Passo 3

Vamos começar encontrando uma antiderivada da função dentro da integral. Sabemos que:
integral 14 - t , dt = -ln|4 - t| + C
Então, a integral definida de 2 até integral2^x 14 - t , dt = -ln|4 - x| + ln|4 - 2| = -ln(4 - x) + ln 2 fica:

Passo 4

Agora, queremos expressar 14 - t = 14 cdot 11 - t4 como uma série de potências. Vamos reescrever de uma forma que facilite a expansão em série:
Essa forma é útil porque sabemos que para . Aqui, .

Passo 5

Vamos então expandir 14 - t = 14 sumn=0^infty ( t4 )^n para |t| < 4 usando a série geométrica:
integral2^x 14 - t , dt = 14 sumn=0^infty integral2^x ( t4 )^n , dt
Agora, substituímos isso na integral:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
14 sumn=0^infty integral2^x ( t4 )^n , dt = 14 sumn=0^infty 1n + 1 ( x^n+1 - 2^n+14^n+1 )
Simplificando:
integral2^x 14 - t , dt = 14 sumn=0^infty x^n+1 - 2^n+14^n+1 (n + 1)

Passo 7

Finalmente, para determinar o raio de convergência, observamos que a série geométrica original converge quando , ou seja, quando . Portanto, o raio de convergência da nossa série é 4.

Resposta

A representação em série de potências da integral é:
integral2^x 14 - t , dt = 14 sumn=0^infty x^n+1 - 2^n+14^n+1 (n + 1)
E o raio de convergência dessa série é 4.

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