Ache uma representação em série de potências para a integral dada e determine o seu raio de convergência:
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para achar uma representação em série de potências para a integral e determinar o raio de convergência dessa série. Vamos usar conceitos de cálculo e séries para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série de potências. Basicamente, é uma expressão como , onde são os coeficientes e é o centro da série. Nosso objetivo é escrever a integral dada nessa forma.
Passo 3
Vamos começar encontrando uma antiderivada da função dentro da integral. Sabemos que:
Então, a integral definida de 2 até fica:
Passo 4
Agora, queremos expressar como uma série de potências. Vamos reescrever de uma forma que facilite a expansão em série:
Essa forma é útil porque sabemos que para . Aqui, .
Passo 5
Vamos então expandir usando a série geométrica:
Agora, substituímos isso na integral:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, para determinar o raio de convergência, observamos que a série geométrica original converge quando , ou seja, quando . Portanto, o raio de convergência da nossa série é 4.
Resposta
A representação em série de potências da integral é: