Se f for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das
seguintes funções: k(x) = 5 x^3 / f(x)

Passo 1

Beleza, temos que encontrar a derivada da função . Aqui, estamos lidando com derivadas de quocientes de funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que nos ajuda a derivar funções que são divididas uma pela outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da nossa função:
  • (o numerador)
  • (o denominador)

Passo 3

Agora, vamos derivar cada uma dessas partes separadamente:
  • A derivada de é . Usamos a regra de potência aqui, onde trazemos o expoente para baixo e diminuímos o expoente em 1.
  • A derivada de é . Isso porque é uma função genérica derivável.

Passo 4

Aplicando a Regra do Quociente, a derivada de é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A derivada de é:

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