Em quais pontos do plano cartesiano as funções abaixo são contínuas? Justifique e esboce a região de continuidade.
c(x, y) = (y - 2) / (y^2 - 4y + 4)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão sobre continuidade de funções no plano cartesiano. O enunciado pede para identificar em quais pontos a função é contínua, justificar isso e esboçar a região onde a continuidade ocorre. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade de função de duas variáveis e analisar onde a função está bem definida.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Observamos que o denominador pode ser fatorado. Vamos fazer isso:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora que simplificamos a função para , precisamos identificar onde essa função está definida. A função está indefinida quando o denominador é zero, ou seja, quando:
Portanto, a função não está definida no ponto onde .

Passo 4

Como a função está definida para todos os valores de exceto , ela é contínua em todos os pontos do plano cartesiano onde . Isso significa que a região de continuidade é todo o plano menos a linha reta onde .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano cartesiano onde . Ou seja, a região de continuidade é todo o plano menos a linha reta .

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