Ache uma representação em série de potências para a integral dada e determine o seu raio de convergência:
integral0^x ln (1+t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma representação em série de potências para a integral integral0^x ln (1+t) , dt e determinar seu raio de convergência. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e integração de séries. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como é a série de potências da função ln(1 + t). Sabemos que:
ln(1 + t) = sumn=1^infty (-1)^n+1 t^nn
Essa é a expansão em série de Taylor da função logarítmica em torno de t = 0.

Passo 3

Agora, queremos integrar essa série de potências de 0 até x. A boa notícia é que podemos integrar termo a termo dentro do intervalo de convergência. Então, vamos integrar a série:
integral0^x ln(1 + t) , dt = integral0^x sumn=1^infty (-1)^n+1 t^nn , dt

Passo 4

Integrando termo a termo, obtemos:
sumn=1^infty (-1)^n+1 1n integral0^x t^n , dt = sumn=1^infty (-1)^n+1 1n [ t^n+1n+1 ]0^x
= sumn=1^infty (-1)^n+1 x^n+1n(n+1)

Passo 5

Então, a representação em série de potências para a integral é:
integral0^x ln(1 + t) , dt = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^n+1n(n+1)

Passo 6

Para determinar o raio de convergência, observamos que a série original de ln(1 + t) converge para |t| < 1. Como integramos a série mantendo o intervalo de convergência, o raio de convergência para a nova série também é 1.

Resposta

A representação em série de potências é:
integral0^x ln(1 + t) , dt = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^n+1n(n+1)
E o raio de convergência da série é 1.

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