Ache uma representação em série de potências para a integral dada e determine o seu raio de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma representação em série de potências para a integral
e determinar seu raio de convergência. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e integração de séries. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como é a série de potências da função
. Sabemos que:
Essa é a expansão em série de Taylor da função logarítmica em torno de
.
Passo 3
Agora, queremos integrar essa série de potências de
até
. A boa notícia é que podemos integrar termo a termo dentro do intervalo de convergência. Então, vamos integrar a série:
Passo 4
Integrando termo a termo, obtemos:
Passo 5
Então, a representação em série de potências para a integral é:
Passo 6
Para determinar o raio de convergência, observamos que a série original de
converge para
. Como integramos a série mantendo o intervalo de convergência, o raio de convergência para a nova série também é
.
Resposta
A representação em série de potências é:
E o raio de convergência da série é
.