Ache uma representação em série de potências em torno de
, dado abaixo, para as funções a seguir e determine o intervalo de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função
em torno de
. Além disso, vamos descobrir qual é o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e propriedades de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor da função
em torno de
. A série de Taylor para
é:
Essa série nos ajuda a expressar
como uma soma infinita de potências de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
usando a série que acabamos de lembrar:
Veja que os termos constantes se cancelam, e ficamos com uma série que começa no termo de
.
Passo 4
A próxima etapa é dividir essa série por
para encontrar
:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Então, a representação em série de potências para
em torno de
fica:
Isso significa que podemos escrever
como uma soma infinita de termos envolvendo potências ímpares de
.
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série de Taylor para
converge para todos os números reais
(ou seja, o raio de convergência é infinito). Como dividimos
por
, exceto em
onde a função é definida como o limite, a série resultante também converge para todos os
reais.
Resposta
A representação em série de potências de
em torno de
é:
E o intervalo de convergência dessa série é todos os números reais
.