Ache uma representação em série de potências em torno de a, dado abaixo, para as funções a seguir e determine o intervalo de convergência:
f(x) = (1 - cos(x)) / x, a = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função em torno de . Além disso, vamos descobrir qual é o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e propriedades de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor da função em torno de . A série de Taylor para é:
Essa série nos ajuda a expressar como uma soma infinita de potências de .

Passo 3

Agora, vamos calcular usando a série que acabamos de lembrar:
Veja que os termos constantes se cancelam, e ficamos com uma série que começa no termo de .

Passo 4

A próxima etapa é dividir essa série por para encontrar :
Simplificando cada termo:

Passo 5

Então, a representação em série de potências para em torno de fica:
Isso significa que podemos escrever como uma soma infinita de termos envolvendo potências ímpares de .

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série de Taylor para converge para todos os números reais (ou seja, o raio de convergência é infinito). Como dividimos por , exceto em onde a função é definida como o limite, a série resultante também converge para todos os reais.

Resposta

A representação em série de potências de em torno de é:
E o intervalo de convergência dessa série é todos os números reais .

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