O raio e intervalo de convergência da série de potências sumn=1^+infty (-1)^n3^n(x-3)^n é:
(a) R=3 e I=(0,6]
(b) R=1 / 3 e I=[0,6]
© R=3 e I=(0,6)
(d) R=1 / 3 e I=[0,6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^+infty (-1)^n3^n(x-3)^n
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries de potências, mais especificamente como determinar onde essa série converge. Vamos usar o teste da razão, que ajuda a encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. A série geral é:
an = (-1)^n3^n(x-3)^n
O raio de convergência ® é a distância em torno do ponto central (nesse caso, 3) onde a série converge. Para encontrá-lo, usamos o teste da razão, que analisa o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge.

Passo 3

Aplicando o teste da razão:
an+1an = (-1)^n+13^n+1(x-3)^n+1 (-1)^n3^n(x-3)^n = -1 3 (x-3)
Pegando o valor absoluto:
| an+1an | = | 13 (x-3) |
Para a série convergir:
| 13 (x-3) | < 1

Passo 4

Resolvendo a desigualdade:
| x - 3 | < 3
Isso significa que o raio de convergência ® é 3.
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência (I). Sabemos que o centro é 3, então:
3 - 3 < x < 3 + 3 implies 0 < x < 6

Passo 5

Porém, precisamos verificar os pontos finais sumn=1^+infty (-1)^n3^n(0-3)^n = sumn=1^+infty (-1)^n3^n(-3)^n = sumn=1^+infty (-1)^n cdot (-1)^n = sumn=1^+infty 1 e sumn=1^+infty (-1)^n3^n(6-3)^n = sumn=1^+infty (-1)^n3^n(3)^n = sumn=1^+infty (-1)^n para ver se a série converge nesses valores.
  • Para :
O que diverge.
  • Para :
Esta é uma série alternada que converge condicionalmente.

Resposta

A resposta correta é a letra (d): e .

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