Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries de potências, mais especificamente como determinar onde essa série converge. Vamos usar o teste da razão, que ajuda a encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série. A série geral é:
O raio de convergência ® é a distância em torno do ponto central (nesse caso, 3) onde a série converge. Para encontrá-lo, usamos o teste da razão, que analisa o limite:
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência (I). Sabemos que o centro é 3, então:
3 - 3 < x < 3 + 3 implies 0 < x < 6
Passo 5
Porém, precisamos verificar os pontos finais sumn=1^+infty (-1)^n3^n(0-3)^n = sumn=1^+infty (-1)^n3^n(-3)^n = sumn=1^+infty (-1)^n cdot (-1)^n = sumn=1^+infty 1 e sumn=1^+infty (-1)^n3^n(6-3)^n = sumn=1^+infty (-1)^n3^n(3)^n = sumn=1^+infty (-1)^n para ver se a série converge nesses valores.
Para :
O que diverge.
Para :
Esta é uma série alternada que converge condicionalmente.