Utilize a série de potências de
, para determinar uma representação em série de potências para
, e determine o raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a série de potências da função
com
para encontrar uma representação em série de potências para
e também determinar o raio de convergência dessa série. Vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e como manipular funções para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de potências de
é uma série geométrica conhecida:
Essa série é infinita e converge quando o valor absoluto de
é menor que 1.
Passo 3
Agora, queremos relacionar isso com a função
. Para facilitar, vamos pensar em como podemos expressar
usando derivadas, já que isso nos ajudará a manipular a série.
Sabemos que:
Então, a série para
é
.
Passo 4
Agora, vamos adaptar isso para a função
. Observe que se substituirmos
por
na série acima, teremos:
Passo 5
Finalmente, vamos multiplicar essa série por
para obter a série de potências para
:
Resposta
A representação em série de potências para
é:
O raio de convergência dessa série é
.