Utilize a série de potências de g(x) = 1/(1-x), |x| < 1, para determinar uma representação em série de potências para f(x) = x^2 / (1 - x^3)^2, e determine o raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a série de potências da função com para encontrar uma representação em série de potências para e também determinar o raio de convergência dessa série. Vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e como manipular funções para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de potências de é uma série geométrica conhecida:
Essa série é infinita e converge quando o valor absoluto de é menor que 1.

Passo 3

Agora, queremos relacionar isso com a função . Para facilitar, vamos pensar em como podemos expressar usando derivadas, já que isso nos ajudará a manipular a série.
Sabemos que:
Então, a série para é .

Passo 4

Agora, vamos adaptar isso para a função . Observe que se substituirmos por na série acima, teremos:

Passo 5

Finalmente, vamos multiplicar essa série por para obter a série de potências para :

Resposta

A representação em série de potências para é:
O raio de convergência dessa série é .

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