Ache uma representação em série de potências em torno de a, dado abaixo, para as funções a seguir e determine o intervalo de convergência:
f(x) = 1/x, a = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar uma série de potências para a função centrada em . Além disso, precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Isso está dentro do conteúdo de séries de potências em cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências em torno de tem a forma geral:
onde são os coeficientes da série. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes para a função centrada em .

Passo 3

Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável. Seja . Assim, podemos reescrever como . Substituindo na função:

Passo 4

Agora, reconhecemos que a expressão é uma forma semelhante à série geométrica. Sabemos que:
No nosso caso, podemos escrever como:

Passo 5

Substituindo de volta , temos:
Essa é a representação em série de potências da função centrada em .

Passo 6

Para encontrar o intervalo de convergência, precisamos garantir que a série geométrica converge. Sabemos que uma série geométrica converge quando . No nosso caso, , então:
Isso significa que:

Resposta

A série de potências da função centrada em é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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