Ache uma representação em série de potências em torno de
, dado abaixo, para as funções a seguir e determine o intervalo de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar uma série de potências para a função
centrada em
. Além disso, precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Isso está dentro do conteúdo de séries de potências em cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências em torno de
tem a forma geral:
onde
são os coeficientes da série. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes para a função
centrada em
.
Passo 3
Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável. Seja
. Assim, podemos reescrever
como
. Substituindo na função:
Passo 4
Agora, reconhecemos que a expressão
é uma forma semelhante à série geométrica. Sabemos que:
No nosso caso, podemos escrever
como:
Passo 5
Substituindo de volta
, temos:
Essa é a representação em série de potências da função
centrada em
.
Passo 6
Para encontrar o intervalo de convergência, precisamos garantir que a série geométrica converge. Sabemos que uma série geométrica
converge quando
. No nosso caso,
, então:
Isso significa que:
Resposta
A série de potências da função
centrada em
é:
E o intervalo de convergência dessa série é
.