Ache uma representação em série de potências em torno de
, dado abaixo, para as funções a seguir e determine o intervalo de convergência:
(h)
(h)
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar uma representação em série de potências para a função
em torno de
. Isso faz parte do conteúdo de séries de Taylor e polinômios. Vamos precisar expandir a função em uma série de potências centrada em
e descobrir para quais valores de
essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências centrada em
tem a forma:
Onde os coeficientes
são dados pelas derivadas de
avaliadas em
:
Como
é um polinômio de grau 4, as derivadas de ordem superior a 4 serão zero. Então, nossa série terá no máximo quatro termos.
Passo 3
Vamos calcular os coeficientes
para
até
.
Primeiro,
é simplesmente
:
Passo 4
Agora, calculamos a primeira derivada
:
Avaliada em
:
Passo 5
Calculamos a segunda derivada
:
Avaliada em
:
Passo 6
Calculamos a terceira derivada
:
Avaliada em
:
Passo 7
Calculamos a quarta derivada
:
Avaliada em
:
Passo 8
Com todos os coeficientes calculados, nossa série de potências fica:
Passo 9
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Como
é um polinômio de grau 4, a série de potências é um polinômio finito e, portanto, converge para todo valor de
. Ou seja, o intervalo de convergência é infinito.
Resposta
A representação em série de potências em torno de
é:
E o intervalo de convergência é
, ou seja, para todo
.
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