Ache uma representação em série de potências em torno de a, dado abaixo, para as funções a seguir e determine o intervalo de convergência:
(h) f(x) = 4 x^4 - 15 x^3 + 20 x^2 - 10 x + 14, a = -1

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar uma representação em série de potências para a função em torno de . Isso faz parte do conteúdo de séries de Taylor e polinômios. Vamos precisar expandir a função em uma série de potências centrada em e descobrir para quais valores de essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências centrada em tem a forma:
Onde os coeficientes são dados pelas derivadas de avaliadas em :
Como é um polinômio de grau 4, as derivadas de ordem superior a 4 serão zero. Então, nossa série terá no máximo quatro termos.

Passo 3

Vamos calcular os coeficientes para até .
Primeiro, é simplesmente :

Passo 4

Agora, calculamos a primeira derivada :
Avaliada em :

Passo 5

Calculamos a segunda derivada :
Avaliada em :

Passo 6

Calculamos a terceira derivada :
Avaliada em :

Passo 7

Calculamos a quarta derivada :
Avaliada em :

Passo 8

Com todos os coeficientes calculados, nossa série de potências fica:

Passo 9

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Como é um polinômio de grau 4, a série de potências é um polinômio finito e, portanto, converge para todo valor de . Ou seja, o intervalo de convergência é infinito.

Resposta

A representação em série de potências em torno de é:
E o intervalo de convergência é , ou seja, para todo .

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