Encontre as derivadas das funções a seguir y = (2*x^2 - 8) / (x^2 - 16)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de derivadas, mais especificamente, vamos usar a Regra do Quociente para derivar uma função que é um quociente de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a . Para funções que são apenas polinômios, podemos derivar termo a termo, mas como temos uma divisão de duas funções aqui, vamos precisar usar a Regra do Quociente.

Passo 3

A Regra do Quociente diz que, se temos uma função , sua derivada é dada por:
Aqui, e . Vamos precisar derivar e separadamente.

Passo 4

Vamos encontrar e :
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 5

Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é .

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