Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas:
Se
é o raio de convergência de
, então
é o raio de convergência de
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre séries de potências e seus raios de convergência. Precisamos decidir se a afirmação dada é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos precisar entender o que é o raio de convergência e como ele muda quando a série é modificada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Para uma série de potências da forma
, o raio de convergência
é o valor positivo tal que a série converge para
e diverge para
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a série modificada no enunciado:
. Podemos reescrever essa série como
, que é semelhante à série original, mas com
substituído por
.
Passo 4
Usando a propriedade do raio de convergência, se a série original tem raio
, então a série
terá raio de convergência
em relação a
. Isso significa que
para convergir.
Passo 5
Resolvendo
, temos que
. Portanto, o raio de convergência para a série
é
.
Resposta
(V) Verdadeiro. O raio de convergência da série
é realmente
.