Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas:
Se R>0 é o raio de convergência de sumn=0^+infty an x^n, então raizR é o raio de convergência de sumn=0^+infty an x^2 n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre séries de potências e seus raios de convergência. Precisamos decidir se a afirmação dada é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos precisar entender o que é o raio de convergência e como ele muda quando a série é modificada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Para uma série de potências da forma , o raio de convergência é o valor positivo tal que a série converge para e diverge para .

Passo 3

Agora, vamos analisar a série modificada no enunciado: . Podemos reescrever essa série como , que é semelhante à série original, mas com substituído por .

Passo 4

Usando a propriedade do raio de convergência, se a série original tem raio , então a série terá raio de convergência em relação a . Isso significa que para convergir.

Passo 5

Resolvendo , temos que . Portanto, o raio de convergência para a série é .

Resposta

(V) Verdadeiro. O raio de convergência da série é realmente .

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