Obtenha uma representação em série de potências para as funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função
. Isso envolve usar o conceito de séries de Taylor, que é uma forma de expressar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de
. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da série de Taylor para
e adaptá-la para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para
. A série de Taylor de uma função
em torno de 0 (também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
No caso de
, todas as derivadas de
são
, e avaliadas em 0, ficam iguais a 1. Então, a série fica:
Passo 3
Agora, queremos a série de
. Basta substituir
por
na série de
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão
. Isso pode ser reescrito como
, então a série fica:
Resposta
A representação em série de potências para
é: