Obtenha uma representação em série de potências para as funções:
y = e^(-x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função . Isso envolve usar o conceito de séries de Taylor, que é uma forma de expressar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de . Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da série de Taylor para e adaptá-la para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para . A série de Taylor de uma função em torno de 0 (também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
No caso de , todas as derivadas de são , e avaliadas em 0, ficam iguais a 1. Então, a série fica:

Passo 3

Agora, queremos a série de . Basta substituir por na série de :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão . Isso pode ser reescrito como , então a série fica:

Resposta

A representação em série de potências para é:

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