Calcule a solução geral das seguintes equações:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais ordinárias, especificamente do tipo de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de resolução de equações diferenciais não lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 3:
Isso nos coloca na forma padrão da equação de Bernoulli:
onde
,
e
.
Passo 3
Para resolver uma equação de Bernoulli, usamos a substituição
. Neste caso:
Então, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
da equação original na expressão de
:
Simplificando:
Agora temos uma equação linear em termos de
:
Passo 5
Para resolver esta equação linear, encontramos o fator integrante
:
Multiplicando ambos os lados da equação pela
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Integrando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: