Calcule a solução geral das seguintes equações:
3 dy/dx + 3/x y = 2 x^4 y^4

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais ordinárias, especificamente do tipo de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de resolução de equações diferenciais não lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 3:
Isso nos coloca na forma padrão da equação de Bernoulli:
onde , e .

Passo 3

Para resolver uma equação de Bernoulli, usamos a substituição . Neste caso:
Então, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos da equação original na expressão de :
Simplificando:
Agora temos uma equação linear em termos de :

Passo 5

Para resolver esta equação linear, encontramos o fator integrante :
Multiplicando ambos os lados da equação pela :
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Integrando:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:
Resolvendo para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados