Ache uma representação em série de potências em torno de , dado abaixo, para as funções a seguir e determine o intervalo de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função ao redor de e descobrir para quais valores de essa série convergirá. Para isso, vamos usar a série de Taylor e entender um pouquinho sobre funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, lembra como funciona a série de Taylor? É uma maneira de escrever uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função no ponto . A fórmula geral é:
Como no nosso caso, a fórmula fica mais simples:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em . Sabemos que:
Então, avaliando em :
Passo 4
Substituindo esses valores na série de Taylor, temos:
Essa é a representação em série de potências para ao redor de .
Passo 5
Para descobrir o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Consideramos o limite:
Como e , a série converge para todos os números reais.
Resposta
A representação em série de potências para em torno de é: