Ache uma representação em série de potências em torno de a, dado abaixo, para as funções a seguir e determine o intervalo de convergência:
f(x)=2^x, a=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função ao redor de e descobrir para quais valores de essa série convergirá. Para isso, vamos usar a série de Taylor e entender um pouquinho sobre funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, lembra como funciona a série de Taylor? É uma maneira de escrever uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função no ponto . A fórmula geral é:
Como no nosso caso, a fórmula fica mais simples:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em . Sabemos que:
Então, avaliando em :

Passo 4

Substituindo esses valores na série de Taylor, temos:
Essa é a representação em série de potências para ao redor de .

Passo 5

Para descobrir o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Consideramos o limite:
Como e , a série converge para todos os números reais.

Resposta

A representação em série de potências para em torno de é:
E o intervalo de convergência é .

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