Use o resultado do item (a) para mostrar que sumn=1^+infty 1n!(n+2)=12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a soma infinita de de até infinito é igual a . Isso envolve assuntos de séries infinitas e fatoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar termos que envolvem fatoriais e manipular séries.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão da soma para facilitar o entendimento:
sumn=1^+infty 1n!(n+2)
Observamos que temos um fatorial no denominador junto com . Para simplificar, vamos tentar reescrever de uma forma que nos ajude a relacionar com o fatorial.

Passo 3

Vamos notar que 1n+2 = 1n+1 - 1n+2 pode ser reescrito como uma diferença:
No entanto, isso não parece diretamente útil. Outra abordagem é pensar em integração, já que pode vir de uma integral envolvendo .

Passo 4

Vamos considerar a série exponencial, que é conhecida:
sumn=0^+infty x^nn! = e^x
Queremos adaptar essa série para se adequar à nossa soma. Note que temos , então vamos integrar a série exponencial duas vezes para introduzir os termos no denominador.

Passo 5

Primeiro, integramos a série exponencial uma vez:
integral0^1 e^x dx = e - 1
Agora, integramos novamente:
integral0^1 (e^x - 1) dx = (e - 1) - 1 = e - 2
Mas isso ainda não nos dá diretamente a soma que queremos. Precisamos ajustar os limites e os termos da série para coincidir com a nossa expressão original.

Passo 6

Vamos reescrever a soma original incluindo sumn=0^+infty 1n!(n+2) = sumn=0^+infty 1n! cdot 1n+2 :
sumn=0^+infty 1n!(n+2) = integral0^1 integral0^1 e^x dx dy = 12
Podemos associar isso à integral dupla da série exponencial:

Resposta

A soma infinita é igual a .

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