Use o resultado do item (a) para mostrar que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a soma infinita de
de
até infinito é igual a
. Isso envolve assuntos de séries infinitas e fatoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar termos que envolvem fatoriais e manipular séries.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão da soma para facilitar o entendimento:
Observamos que temos um fatorial no denominador junto com
. Para simplificar, vamos tentar reescrever
de uma forma que nos ajude a relacionar com o fatorial.
Passo 3
Vamos notar que
pode ser reescrito como uma diferença:
No entanto, isso não parece diretamente útil. Outra abordagem é pensar em integração, já que
pode vir de uma integral envolvendo
.
Passo 4
Vamos considerar a série exponencial, que é conhecida:
Queremos adaptar essa série para se adequar à nossa soma. Note que temos
, então vamos integrar a série exponencial duas vezes para introduzir os termos
no denominador.
Passo 5
Primeiro, integramos a série exponencial uma vez:
Agora, integramos novamente:
Mas isso ainda não nos dá diretamente a soma que queremos. Precisamos ajustar os limites e os termos da série para coincidir com a nossa expressão original.
Passo 6
Vamos reescrever a soma original incluindo
:
Podemos associar isso à integral dupla da série exponencial:
Resposta
A soma infinita
é igual a
.