Obtenha uma representação em série de potências para as funções:
y = arctg x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função . Isso envolve o estudo de séries de potências e, mais especificamente, a série de Taylor ou Maclaurin. Vamos precisar lembrar como expandir funções em séries e conhecer algumas propriedades básicas de derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências pode ser escrita como:
No caso da série de Maclaurin (que é uma série de Taylor centrada em 0), queremos expressar como uma soma infinita de termos envolvendo potências de .

Passo 3

Para encontrar os coeficientes da série de Maclaurin para , vamos derivar a função várias vezes e avaliar essas derivadas em .
Primeiro, sabemos que:
A função pode ser expandida como uma série geométrica:
Isso é válido para .

Passo 4

Integrando essa série termo a termo, obtemos a série para :
Como , a constante de integração é zero.

Passo 5

Então, a representação em série de potências para é:
Isso significa que podemos escrever como a soma de termos alternados envolvendo as potências ímpares de .

Resposta

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