Obtenha uma representação em série de potências para as funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função
. Isso envolve o estudo de séries de potências e, mais especificamente, a série de Taylor ou Maclaurin. Vamos precisar lembrar como expandir funções em séries e conhecer algumas propriedades básicas de derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências pode ser escrita como:
No caso da série de Maclaurin (que é uma série de Taylor centrada em 0), queremos expressar
como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 3
Para encontrar os coeficientes
da série de Maclaurin para
, vamos derivar a função várias vezes e avaliar essas derivadas em
.
Primeiro, sabemos que:
A função
pode ser expandida como uma série geométrica:
Isso é válido para
.
Passo 4
Integrando essa série termo a termo, obtemos a série para
:
Como
, a constante de integração
é zero.
Passo 5
Então, a representação em série de potências para
é:
Isso significa que podemos escrever
como a soma de termos alternados envolvendo as potências ímpares de
.