Considere a equação diferencial
e assinale a alternativa INCORRETA:
(a) é uma EDO de primeira ordem não linear.
(b) é uma EDO de Bernoulli.
©
, onde
é uma solução da EDO.
(d)
, onde
é uma solução da EDO.
(a) é uma EDO de primeira ordem não linear.
(b) é uma EDO de Bernoulli.
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial chamada
. O que a gente precisa fazer é analisar as alternativas dadas e identificar qual delas está errada. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias (EDOs), incluindo identificação de ordem, linearidade e tipos especiais como a de Bernoulli. Também vamos verificar se as soluções propostas realmente satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a ordem e a linearidade da EDO. A ordem de uma equação diferencial é a maior derivada presente. Aqui, temos
, que é a primeira derivada, então é uma EDO de primeira ordem. Já a linearidade depende se a equação pode ser escrita de forma linear em relação a
e suas derivadas.
Passo 3
Observando a equação
, percebemos que o termo
torna a equação não linear, pois há um produto de
e
. Portanto, a alternativa (a) está correta ao afirmar que é uma EDO de primeira ordem não linear.
Passo 4
Agora, vamos ver se a equação é do tipo Bernoulli. Uma EDO de Bernoulli tem a forma
, onde
é uma constante. Reorganizando nossa equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso se encaixa na forma de Bernoulli com
. Então, a alternativa (b) também está correta.
Passo 5
Vamos verificar as soluções propostas nas alternativas © e (d). Primeiro, na ©:
.
Para verificar se essa solução satisfaz a EDO, vamos derivar
em relação a
:
Derivando:
Substituindo
e
na EDO
:
Simplificando:
Tudo cancela e restamos
, confirmando que a alternativa © está correta.
Passo 6
Agora, vamos para a alternativa (d):
.
Derivando
em relação a
:
Derivando:
Substituindo
e
na EDO
:
Simplificando:
Isso não resulta em zero a não ser que
, o que não é geral. Portanto, a alternativa (d) está INCORRETA.
Resposta
A alternativa INCORRETA é a (d).