Considere a equação diferencial 2xy y' - y^2 + x = 0 e assinale a alternativa INCORRETA:
(a) é uma EDO de primeira ordem não linear.
(b) é uma EDO de Bernoulli.
© y = +- raiz(c x - x ln x), onde c em R é uma solução da EDO.
(d) y = +- raiz(x - c x ln(x)), onde c em R é uma solução da EDO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial chamada . O que a gente precisa fazer é analisar as alternativas dadas e identificar qual delas está errada. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias (EDOs), incluindo identificação de ordem, linearidade e tipos especiais como a de Bernoulli. Também vamos verificar se as soluções propostas realmente satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a ordem e a linearidade da EDO. A ordem de uma equação diferencial é a maior derivada presente. Aqui, temos , que é a primeira derivada, então é uma EDO de primeira ordem. Já a linearidade depende se a equação pode ser escrita de forma linear em relação a e suas derivadas.

Passo 3

Observando a equação , percebemos que o termo torna a equação não linear, pois há um produto de e . Portanto, a alternativa (a) está correta ao afirmar que é uma EDO de primeira ordem não linear.

Passo 4

Agora, vamos ver se a equação é do tipo Bernoulli. Uma EDO de Bernoulli tem a forma , onde é uma constante. Reorganizando nossa equação:
Dividindo ambos os lados por :
Isso se encaixa na forma de Bernoulli com . Então, a alternativa (b) também está correta.

Passo 5

Vamos verificar as soluções propostas nas alternativas © e (d). Primeiro, na ©: .
Para verificar se essa solução satisfaz a EDO, vamos derivar em relação a :
Derivando:
Substituindo e na EDO :
Simplificando:
Tudo cancela e restamos , confirmando que a alternativa © está correta.

Passo 6

Agora, vamos para a alternativa (d): .
Derivando em relação a :
Derivando:
Substituindo e na EDO :
Simplificando:
Isso não resulta em zero a não ser que , o que não é geral. Portanto, a alternativa (d) está INCORRETA.

Resposta

A alternativa INCORRETA é a (d).

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