Seja sumn=0^+infty cn(x-a)^n uma série de potências, com cn >= 0. Marque a alternativa INCORRETA.
Se lim n +infty raiz[n]cn=1k, k in R+^*, então a série diverge para todo x in(a-k, a+k).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série de potências dada por
sumn=0^+infty cn(x-a)^n,
com . O enunciado nos apresenta uma afirmação e nos pede para identificar se ela é correta ou não. O conteúdo envolvido aqui é de análise de séries de potências, especificamente sobre a convergência ou divergência delas.

Passo 2

A afirmação a ser analisada é:
Se limn +infty raiz[n]cn = 1k, onde k in R+^*, então a série diver>= para todo x in(a - k, a + k) ãé
Nosso objetivo é verificar se essa afirmação está correta.

Passo 3

Para determinar a convergência de uma série de potências, usamos o Teorema de Cauchy-Hadamard, que nos diz que o raio de convergência R = 1limsupn to infty raiz[n]|cn| é dado por:
R = 1limn to infty raiz[n]cn = 11k = k
No nosso caso, como , temos:

Passo 4

Com o raio de convergência , sabemos que a série converge absolutamente para e diverge para . Nos pontos onde , a convergência depende de termos específicos da série.

Passo 5

A afirmação do exercício diz que a série diverge para todo . No entanto, segundo o Teorema de Cauchy-Hadamard, a série converge para e diverge para . Portanto, a afirmação está invertendo os comportamentos de convergência e divergência.

Resposta

A afirmação é INCORRETA.

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