Seja
uma série de potências, com
. Marque a alternativa INCORRETA.
Se
, então a série diverge para todo
.
Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série de potências dada por
com
. O enunciado nos apresenta uma afirmação e nos pede para identificar se ela é correta ou não. O conteúdo envolvido aqui é de análise de séries de potências, especificamente sobre a convergência ou divergência delas.
Passo 2
A afirmação a ser analisada é:
Nosso objetivo é verificar se essa afirmação está correta.
Passo 3
Para determinar a convergência de uma série de potências, usamos o Teorema de Cauchy-Hadamard, que nos diz que o raio de convergência
é dado por:
No nosso caso, como
, temos:
Passo 4
Com o raio de convergência
, sabemos que a série converge absolutamente para
e diverge para
. Nos pontos onde
, a convergência depende de termos específicos da série.
Passo 5
A afirmação do exercício diz que a série diverge para todo
. No entanto, segundo o Teorema de Cauchy-Hadamard, a série converge para
e diverge para
. Portanto, a afirmação está invertendo os comportamentos de convergência e divergência.
Resposta
A afirmação é INCORRETA.