Ache uma representação em série de potências em torno de
, dado abaixo, para as funções a seguir e determine o intervalo de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma representação em série de potências para a função
em torno de
. Isso significa que vamos expressar
como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Além disso, precisamos descobrir para quais valores de
essa série converge, ou seja, onde ela faz sentido matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que pode simplificar nosso trabalho. Sabemos que:
Essa identidade vai nos ajudar a transformar
em uma expressão que envolve
, que tem uma série de potências conhecida.
Passo 3
Agora, vamos representar
como uma série de potências usando a série de Taylor para o cosseno. A série de Taylor de
em torno de 0 é:
Substituindo
por
, temos:
Passo 4
Voltando à nossa express��o para
:
Substituindo a série de
:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Para simplificar, podemos ajustar o índice da soma. Começando de
e ajustando os termos, obtemos:
Essa é a representação em série de potências para
em torno de
.
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série de Taylor para
converge para todos os números reais, ou seja, seu raio de convergência é infinito. Como nossa série para
é derivada da série de
, ela também converge para todos os
reais.
Resposta
A representação em série de potências de
em torno de
é:
E o intervalo de convergência é
.