Ache uma representação em série de potências em torno de a, dado abaixo, para as funções a seguir e determine o intervalo de convergência:
f(x) = sen^2(x), a = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma representação em série de potências para a função em torno de . Isso significa que vamos expressar como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . Além disso, precisamos descobrir para quais valores de essa série converge, ou seja, onde ela faz sentido matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que pode simplificar nosso trabalho. Sabemos que:
Essa identidade vai nos ajudar a transformar em uma expressão que envolve , que tem uma série de potências conhecida.

Passo 3

Agora, vamos representar como uma série de potências usando a série de Taylor para o cosseno. A série de Taylor de em torno de 0 é:
Substituindo por , temos:

Passo 4

Voltando à nossa express��o para :
Substituindo a série de :
Isso pode ser reescrito como:

Passo 5

Para simplificar, podemos ajustar o índice da soma. Começando de e ajustando os termos, obtemos:
Essa é a representação em série de potências para em torno de .

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série de Taylor para converge para todos os números reais, ou seja, seu raio de convergência é infinito. Como nossa série para é derivada da série de , ela também converge para todos os reais.

Resposta

A representação em série de potências de em torno de é:
E o intervalo de convergência é .

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