Calcule a solução geral das seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a solução geral da equação diferencial
. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação e transforma-la em uma forma que a gente consiga resolver mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Seja
. Essa substituição é útil porque facilita o trabalho com o termo
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Então, podemos reescrever
como:
Passo 3
Substituindo
por
na equação original, temos:
Como
, substituímos
por
:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma
, onde
e
.
Passo 4
Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
Simplificando o lado direito:
Agora, a equação fica:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Resposta
A solução geral da equação é: