Calcule a solução geral das seguintes equações:
y y' + y^2 tan(t) = cos^2(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a solução geral da equação diferencial . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação e transforma-la em uma forma que a gente consiga resolver mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Seja . Essa substituição é útil porque facilita o trabalho com o termo . Agora, vamos derivar em relação a :
Então, podemos reescrever como:

Passo 3

Substituindo por na equação original, temos:
Como , substituímos por :
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma , onde e .

Passo 4

Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Simplificando o lado direito:
Agora, a equação fica:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Resolvendo para :
Lembrando que , temos:

Resposta

A solução geral da equação é:

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