Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.
d/dt y(t) + y(t)/t = 3 cos(2t) y(t) = (6 sen(2t) t + 3 cos(2t) - 4) / (4 t)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial:
E uma função proposta:
Nossa missão aqui é verificar se essa função realmente satisfaz a equação diferencial apresentada. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de , substituir na equação e ver se ambos os lados ficam iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função :
Podemos dividir cada termo do numerador por :
Simplificando cada fração:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de , ou seja, .
  1. Derivada de :
    Aplicando a regra da cadeia:
  2. Derivada de :
    Usamos a regra do quociente:
    Simplificando:
  3. Derivada de :
Agora, somando todas as derivadas:

Passo 4

Vamos substituir e na equação diferencial original:
Substituindo:
Simplificando cada termo:
Agora, somando todos os termos:
Observamos que muitos termos se cancelam:
Portanto, a equação fica:
Isso confirma que a igualdade é verdadeira para todos os valores de diferentes de zero.

Resposta

Sim, a função é solução da equação diferencial dada.

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