Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial:
E uma função proposta:
Nossa missão aqui é verificar se essa função
realmente satisfaz a equação diferencial apresentada. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de
, substituir na equação e ver se ambos os lados ficam iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função
:
Podemos dividir cada termo do numerador por
:
Simplificando cada fração:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
, ou seja,
.
-
Derivada de
: Aplicando a regra da cadeia: -
Derivada de
: Usamos a regra do quociente:Simplificando: -
Derivada de
:
Agora, somando todas as derivadas:
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação diferencial original:
Substituindo:
Simplificando cada termo:
Agora, somando todos os termos:
Observamos que muitos termos se cancelam:
Portanto, a equação fica:
Isso confirma que a igualdade é verdadeira para todos os valores de
diferentes de zero.
Resposta
Sim, a função
é solução da equação diferencial dada.