Calcule a solução geral das seguintes equações:
y dx + (x - (1/2) x^3 y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo . A matéria que estamos usando aqui é o estudo de equações diferenciais exatas e técnicas para torná-las exatas, como encontrar fatores integrantes. Vamos precisar manipular a equação para verificar se ela é exata e, se não for, encontrar um fator que a torne exata para assim poder encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de equações diferenciais exatas, que é . Aqui, temos:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que multiplique a equação e a torne exata. Vamos supor que esse fator seja uma função de apenas, . A condição para que torne a equação exata é:
Substituindo os valores:
Essa expressão ainda depende de , o que complica a obtenção de . Portanto, vamos tentar uma substituição para simplificar a equação.

Passo 4

Vamos fazer a substituição . Dessa forma, podemos reescrever em termos de :
Calculando a derivada de em relação a :
Substituindo e na equação original, conseguimos simplificar e isolar .

Passo 5

Após a substituição e simplificações, conseguimos separar as variáveis e na equação:
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação.

Passo 6

Integrando o lado esquerdo usando frações parciais:
As integrais resultam em:

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
Simplificando, chegamos a:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
onde é a constante de integração.

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