Calcule a solução geral das seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo
. A matéria que estamos usando aqui é o estudo de equações diferenciais exatas e técnicas para torná-las exatas, como encontrar fatores integrantes. Vamos precisar manipular a equação para verificar se ela é exata e, se não for, encontrar um fator que a torne exata para assim poder encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de equações diferenciais exatas, que é
. Aqui, temos:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que multiplique a equação e a torne exata. Vamos supor que esse fator seja uma função de
apenas,
. A condição para que
torne a equação exata é:
Substituindo os valores:
Essa expressão ainda depende de
, o que complica a obtenção de
. Portanto, vamos tentar uma substituição para simplificar a equação.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Dessa forma, podemos reescrever
em termos de
:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Substituindo
e
na equação original, conseguimos simplificar e isolar
.
Passo 5
Após a substituição e simplificações, conseguimos separar as variáveis
e
na equação:
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação.
Passo 6
Integrando o lado esquerdo usando frações parciais:
As integrais resultam em:
Passo 7
Substituindo
de volta na equação:
Simplificando, chegamos a:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
onde
é a constante de integração.