Calcule a solução geral das seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a solução geral da equação diferencial:
Estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, mais especificamente uma equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifica essa equação não linear em uma linear.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da equação. A equação está na forma:
No nosso caso,
,
e
. Isso confirma que é uma equação de Bernoulli, que é uma equação diferencial não linear, mas que pode ser transformada em linear usando uma substituição adequada.
Passo 3
A próxima etapa é fazer a substituição para transformar a equação. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Vamos reescrever a equação original em termos de
. A equação inicial é:
Substituindo
e
, temos:
Dividindo toda a equação por
para simplificar:
Agora, essa é uma equação diferencial linear em
.
Passo 5
Vamos resolver a equação linear:
Onde:
Primeiro, encontramos o fator integrante:
Como
já está no denominador original, assumimos
para simplificar, então:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação por
:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados:
Calculando a integral:
Portanto:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Elevando ambos os lados ao quadrado para achar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.