Ache os restos das seguintes divisões:
40a
Ache os restos das seguintes divisões: a) 2^45 por 7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos achar o resto da divisão de por 7. Esse problema está relacionado ao conteúdo de teoria dos números, especificamente à aritmética modular. Para resolver, vamos usar propriedades de potências em relação a restos de divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Queremos descobrir qual é o resto dessa divisão, ou seja, qual número sobra quando é dividido por 7.

Passo 3

A aritmética modular nos ajuda a simplificar potências grandes usando padrões de repetição dos restos. Vamos calcular alguns poderes de 2 módulo 7 para encontrar um ciclo:
2^1 mod 7 = 2 2^2 mod 7 = 4 2^3 mod 7 = 8 mod 7 = 1
Notamos que a cada 3 potências, o resto volta a 1. Isso significa que os restos se repetem a cada 3 passos.

Passo 4

Agora, como o ciclo se repete a cada 3 potências, podemos dividir o expoente 45 por 3 para ver em que ponto do ciclo estamos:
45 div 3 = 15 com resto 0
O resto é 0, o que indica que está no final de um ciclo, onde o resto é 1.

Passo 5

Portanto, o resto da divisão de por 7 é 1.

Resposta

O resto da divisão de por 7 é 1.

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