d) Encontre um inteiro x tal que
l x equiv 5(bmod 7) x=-1(bmod 9) x equiv 6(bmod 10)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de congruências para encontrar um número inteiro que satisfaz três condições diferentes. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema Chinês do Resto, que ajuda a resolver sistemas assim. Precisamos entender as congruências dadas e encontrar um valor de que funcione para todas elas ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as congruências do sistema:
x equiv 5 pmod7 x equiv -1 pmod9 x equiv 6 pmod10
Vamos resolver duas de cada vez e depois combinar os resultados.

Passo 3

Vamos começar com as duas primeiras congruências:
x equiv 5 pmod7 x equiv -1 pmod9
A segunda congruência x equiv 5 pmod7 x equiv 8 pmod9 é o mesmo que , então reescrevemos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar um número que satisfaz as duas primeiras congruências. Vamos expressar x = 7k + 5 a partir da primeira congruência:
7k + 5 equiv 8 pmod9
onde 7k equiv 3 pmod9 é um inteiro. Substituindo na segunda congruência:
Simplificando:

Passo 5

Queremos encontrar 7 times 4 = 28 equiv 1 pmod9 que satisfaça k equiv 3 times 4 pmod9 k equiv 12 pmod9 k equiv 3 pmod9 . Para isso, encontramos o inverso de 7 módulo 9. Testando:
Então, o inverso de 7 é 4. Multiplicamos ambos os lados da congruência por 4:

Passo 6

Agora que temos x = 7k + 5 = 7(9m + 3) + 5 = 63m + 21 + 5 = 63m + 26 , substituímos de volta na expressão de :
Então, .

Passo 7

Agora, vamos considerar a terceira congruência:
x equiv 6 pmod10
Sabemos que 63m + 26 equiv 6 pmod10 . Substituindo na terceira congruência:
3m + 6 equiv 6 pmod10 3m equiv 0 pmod10
Simplificando:

Passo 8

Queremos resolver m equiv 0 pmod10 . Isso significa que é múltiplo de 10. Como 3 e 10 são coprimos, deve ser múltiplo de 10:
Então, , onde é um inteiro.

Passo 9

Substituindo x = 63m + 26 = 63(10n) + 26 = 630n + 26 na expressão de x equiv 26 pmod630 :
Isso nos dá a solução geral para :

Resposta

Um inteiro que satisfaz o sistema é x equiv 26 pmod630 , onde é qualquer número inteiro. Ou seja,

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