Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de congruências para encontrar um número inteiro que satisfaz três condições diferentes. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema Chinês do Resto, que ajuda a resolver sistemas assim. Precisamos entender as congruências dadas e encontrar um valor de que funcione para todas elas ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as congruências do sistema:
Vamos resolver duas de cada vez e depois combinar os resultados.
Passo 3
Vamos começar com as duas primeiras congruências:
A segunda congruência é o mesmo que , então reescrevemos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar um número que satisfaz as duas primeiras congruências. Vamos expressar a partir da primeira congruência:
onde é um inteiro. Substituindo na segunda congruência:
Simplificando:
Passo 5
Queremos encontrar que satisfaça . Para isso, encontramos o inverso de 7 módulo 9. Testando:
Então, o inverso de 7 é 4. Multiplicamos ambos os lados da congruência por 4:
Passo 6
Agora que temos , substituímos de volta na expressão de :
Então, .
Passo 7
Agora, vamos considerar a terceira congruência:
Sabemos que . Substituindo na terceira congruência:
Simplificando:
Passo 8
Queremos resolver . Isso significa que é múltiplo de 10. Como 3 e 10 são coprimos, deve ser múltiplo de 10:
Então, , onde é um inteiro.
Passo 9
Substituindo na expressão de :
Isso nos dá a solução geral para :
Resposta
Um inteiro que satisfaz o sistema é , onde é qualquer número inteiro. Ou seja,