d) Encontre um inteiro tal que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de congruências para encontrar um número inteiro que satisfaz três condições diferentes. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema Chinês do Resto, que ajuda a resolver sistemas assim. Precisamos entender as congruências dadas e encontrar um valor de que funcione para todas elas ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as congruências do sistema:
Vamos resolver duas de cada vez e depois combinar os resultados.

Passo 3

Vamos começar com as duas primeiras congruências:
A segunda congruência é o mesmo que , então reescrevemos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar um número que satisfaz as duas primeiras congruências. Vamos expressar a partir da primeira congruência:
onde é um inteiro. Substituindo na segunda congruência:
Simplificando:

Passo 5

Queremos encontrar que satisfaça . Para isso, encontramos o inverso de 7 módulo 9. Testando:
Então, o inverso de 7 é 4. Multiplicamos ambos os lados da congruência por 4:

Passo 6

Agora que temos , substituímos de volta na expressão de :
Então, .

Passo 7

Agora, vamos considerar a terceira congruência:
Sabemos que . Substituindo na terceira congruência:
Simplificando:

Passo 8

Queremos resolver . Isso significa que é múltiplo de 10. Como 3 e 10 são coprimos, deve ser múltiplo de 10:
Então, , onde é um inteiro.

Passo 9

Substituindo na expressão de :
Isso nos dá a solução geral para :

Resposta

Um inteiro que satisfaz o sistema é , onde é qualquer número inteiro. Ou seja,

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