Determinar o centro de , i.e., o conjunto das matrizes que comutam com qualquer matriz .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o centro de , que é o conjunto de todas as matrizes que comutam com qualquer matriz de . Aqui, estamos trabalhando com álgebra de matrizes, então vamos precisar saber o que significa duas matrizes comutarem e como identificar essas matrizes especiais que fazem isso com todas as outras.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa duas matrizes comutarem. Duas matrizes e comutam se . Ou seja, a ordem em que a multiplicamos não altera o resultado.
Passo 3
Agora, queremos encontrar todas as matrizes que comutam com qualquer matriz de . Isso significa que, independentemente da matriz que escolhermos, a igualdade deve sempre ser verdadeira.
Passo 4
Vamos supor que é uma matriz que está no centro, ou seja, comuta com todas as matrizes . Vamos considerar primeiro matrizes que são muito simples, como as matrizes que têm apenas um elemento igual a 1 e o resto igual a 0. Chamamos essas matrizes de matrizes elementares.
Passo 5
Se escolhermos uma matriz que tem 1 na posição e 0 nas demais posições, e exigimos que , podemos analisar o que isso implica para os elementos da matriz . Fazendo essa análise para todas as posições , veremos que os únicos elementos que funcionam são aqueles em que é uma matriz diagonal com todos os elementos na diagonal principal sendo iguais.
Passo 6
Ou seja, a única forma de garantir que comute com todas as matrizes é se for uma matriz escalar, ou seja, uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal são iguais. Matematicamente, isso pode ser escrito como:
onde é um escalar real e é a matriz identidade de ordem .
Resposta
O centro de consiste em todas as matrizes escalares, ou seja, todas as matrizes da forma , onde e é a matriz identidade de ordem .