Determinar o centro de Matn(R), i.e., o conjunto das matrizes A in Matn(R) que comutam com qualquer matriz M in Matn(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o centro de Matn(R), que é o conjunto de todas as matrizes A que comutam com qualquer matriz M de Matn(R). Aqui, estamos trabalhando com álgebra de matrizes, então vamos precisar saber o que significa duas matrizes comutarem e como identificar essas matrizes especiais que fazem isso com todas as outras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa duas matrizes comutarem. Duas matrizes A e M comutam se AM = MA. Ou seja, a ordem em que a multiplicamos não altera o resultado.

Passo 3

Agora, queremos encontrar todas as matrizes A que comutam com qualquer matriz M de Matn(R). Isso significa que, independentemente da matriz M que escolhermos, a igualdade AM = MA deve sempre ser verdadeira.

Passo 4

Vamos supor que A é uma matriz que está no centro, ou seja, comuta com todas as matrizes M. Vamos considerar primeiro matrizes M que são muito simples, como as matrizes que têm apenas um elemento igual a 1 e o resto igual a 0. Chamamos essas matrizes de matrizes elementares.

Passo 5

Se escolhermos uma matriz M que tem 1 na posição (i,j) e 0 nas demais posições, e exigimos que AM = MA, podemos analisar o que isso implica para os elementos da matriz A. Fazendo essa análise para todas as posições (i,j), veremos que os únicos elementos que funcionam são aqueles em que A é uma matriz diagonal com todos os elementos na diagonal principal sendo iguais.

Passo 6

Ou seja, a única forma de garantir que A comute com todas as matrizes M é se A for uma matriz escalar, ou seja, uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal são iguais. Matematicamente, isso pode ser escrito como:
A = lambda In
onde lambda é um escalar real e In é a matriz identidade de ordem n.

Resposta

O centro de Matn(R) consiste em todas as matrizes escalares, ou seja, todas as matrizes da forma A = lambda In, onde lambda in R e In é a matriz identidade de ordem n.

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