Determinar o centro de
, i.e., o conjunto das matrizes
que comutam com qualquer matriz
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o centro de
, que é o conjunto de todas as matrizes
que comutam com qualquer matriz
de
. Aqui, estamos trabalhando com álgebra de matrizes, então vamos precisar saber o que significa duas matrizes comutarem e como identificar essas matrizes especiais que fazem isso com todas as outras.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa duas matrizes comutarem. Duas matrizes
e
comutam se
. Ou seja, a ordem em que a multiplicamos não altera o resultado.
Passo 3
Agora, queremos encontrar todas as matrizes
que comutam com qualquer matriz
de
. Isso significa que, independentemente da matriz
que escolhermos, a igualdade
deve sempre ser verdadeira.
Passo 4
Vamos supor que
é uma matriz que está no centro, ou seja, comuta com todas as matrizes
. Vamos considerar primeiro matrizes
que são muito simples, como as matrizes que têm apenas um elemento igual a 1 e o resto igual a 0. Chamamos essas matrizes de matrizes elementares.
Passo 5
Se escolhermos uma matriz
que tem 1 na posição
e 0 nas demais posições, e exigimos que
, podemos analisar o que isso implica para os elementos da matriz
. Fazendo essa análise para todas as posições
, veremos que os únicos elementos que funcionam são aqueles em que
é uma matriz diagonal com todos os elementos na diagonal principal sendo iguais.
Passo 6
Ou seja, a única forma de garantir que
comute com todas as matrizes
é se
for uma matriz escalar, ou seja, uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal são iguais. Matematicamente, isso pode ser escrito como:
onde
é um escalar real e
é a matriz identidade de ordem
.
Resposta
O centro de
consiste em todas as matrizes escalares, ou seja, todas as matrizes da forma
, onde
e
é a matriz identidade de ordem
.