Ache os restos das seguintes divisões: c)
por 5
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o resto da divisão de
por 5. Esse tipo de problema está relacionado com a aritmética modular, que nos ajuda a encontrar restos de divisões de uma maneira mais fácil quando lidamos com potências grandes. Para resolver, vamos precisar entender como calcular potências em módulo e aplicar algumas propriedades dessa matéria.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar cada parte da expressão separadamente em módulo 5.
Começando com
módulo 5. Sabemos que, em aritmética modular, podemos encontrar um padrão nas potências de 3 quando divididas por 5.
Calculando algumas potências de 3 módulo 5:
Percebemos que
. Isso significa que cada múltiplo de 4 no expoente fará com que a potência de 3 seja congruente a 1 módulo 5.
Então,
pode ser escrito como
.
Portanto,
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar
módulo 5. Primeiro, vemos que 42 dividido por 5 dá resto 2, porque 42 = 5 × 8 + 2.
Assim,
, e podemos simplificar
para
:
Percebemos que
, então
.
Portanto,
.
Passo 4
Vamos simplificar
módulo 5. Primeiro, 6 dividido por 5 deixa resto 1, então:
Portanto, qualquer potência de 6 será:
Passo 5
Agora, juntando tudo:
E 9 dividido por 5 deixa resto 4.
Resposta
O resto da divisão de
por 5 é 4.