Ache os restos das seguintes divisões: c) 3^10 cdot 42^5+6^8 por 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o resto da divisão de por 5. Esse tipo de problema está relacionado com a aritmética modular, que nos ajuda a encontrar restos de divisões de uma maneira mais fácil quando lidamos com potências grandes. Para resolver, vamos precisar entender como calcular potências em módulo e aplicar algumas propriedades dessa matéria.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cada parte da expressão separadamente em módulo 5.
Começando com 3^1 equiv 3 (mod 5) 3^2 = 9 equiv 4 (mod 5) 3^3 = 27 equiv 2 (mod 5) 3^4 = 81 equiv 1 (mod 5) módulo 5. Sabemos que, em aritmética modular, podemos encontrar um padrão nas potências de 3 quando divididas por 5.
Calculando algumas potências de 3 módulo 5:
(3^4)^2 equiv 1^2 equiv 1 (mod 5) 3^2 equiv 4 (mod 5)
Percebemos que . Isso significa que cada múltiplo de 4 no expoente fará com que a potência de 3 seja congruente a 1 módulo 5.
Então, pode ser escrito como .
Portanto, .

Passo 3

Agora, vamos simplificar 2^1 equiv 2 (mod 5) 2^2 = 4 equiv 4 (mod 5) 2^3 = 8 equiv 3 (mod 5) 2^4 = 16 equiv 1 (mod 5) módulo 5. Primeiro, vemos que 42 dividido por 5 dá resto 2, porque 42 = 5 × 8 + 2.
Assim, , e podemos simplificar para :
Percebemos que , então .
Portanto, .

Passo 4

Vamos simplificar 6 equiv 1 (mod 5) módulo 5. Primeiro, 6 dividido por 5 deixa resto 1, então:
6^8 equiv 1^8 equiv 1 (mod 5)
Portanto, qualquer potência de 6 será:

Passo 5

Agora, juntando tudo:
3^10 cdot 42^5 + 6^8 equiv 4 cdot 2 + 1 equiv 8 + 1 equiv 9 (mod 5)
E 9 dividido por 5 deixa resto 4.

Resposta

O resto da divisão de por 5 é 4.

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