Ache os restos das seguintes divisões:
a)
por 7
b)
por 100
c)
por 5
a)
b)
c)
Passo 1
Vamos resolver os exercícios que pedem para encontrar os restos das divisões de potências. Vamos usar a aritmética modular, que ajuda a encontrar restos de divisões de números grandes sem precisar calcular o número inteiro completo. Para isso, precisaremos entender como as potências se comportam quando divididas por um certo número.
Passo 2
a) Encontrar o resto de
dividido por 7
Primeiro, observamos o ciclo dos restos das potências de 2 quando divididas por 7:
-
-
-
-
- …
Notamos que os restos se repetem a cada 3 potências (2, 4, 1). Para
:
Como o resto é 0, o resto de
dividido por 7 é o mesmo que o resto de
, que é 1.
b) Encontrar o resto de
dividido por 100
Aqui, queremos encontrar os últimos dois dígitos de
, ou seja,
. Usamos o Teorema de Euler, que diz que se
e
são coprimos, então:
Onde
é a função totiente de Euler. Como 11 e 100 são coprimos,
. Então:
Dividindo o expoente 100 por 40:
Portanto:
Agora, calculamos
:
Notamos que
Então:
Calculando sucessivamente:
Portanto,
.
c) Encontrar o resto de
dividido por 5
Vamos calcular cada parte separadamente módulo 5:
-
:
Como
, então:
-
:
Então:
-
:
Agora, juntamos tudo:
Resposta
a) O resto é 1
b) O resto é 1
c) O resto é 4
b) O resto é 1
c) O resto é 4