Ache os restos das seguintes divisões:
a) 2^45 por 7
b) 11^100 por 100
c) 3^10 42^5+6^8 por 5

Passo 1

Vamos resolver os exercícios que pedem para encontrar os restos das divisões de potências. Vamos usar a aritmética modular, que ajuda a encontrar restos de divisões de números grandes sem precisar calcular o número inteiro completo. Para isso, precisaremos entender como as potências se comportam quando divididas por um certo número.

Passo 2

a) Encontrar o resto de 45 div 3 = 15 com resto 0 dividido por 7
Primeiro, observamos o ciclo dos restos das potências de 2 quando divididas por 7:
  • a^phi(n) equiv 1 mod n
  • 11^40 equiv 1 mod 100
  • 100 = 2 times 40 + 20
  • 11^100 = (11^40)^2 times 11^20 equiv 1^2 times 11^20 mod 100 Rightarrow 11^20 mod 100
Notamos que os restos se repetem a cada 3 potências (2, 4, 1). Para 11^20 = (11^2)^10 equiv 21^10 mod 100 :
21^2 = 441 equiv 41 mod 100
Como o resto é 0, o resto de 21^4 = (21^2)^2 equiv 41^2 = 1681 equiv 81 mod 100 dividido por 7 é o mesmo que o resto de 21^10 = (21^4)^2 times 21^2 equiv 81^2 times 41 equiv 61 times 41 = 2501 equiv 1 mod 100 , que é 1.
b) Encontrar o resto de 3^1 equiv 3 mod 5 dividido por 100
Aqui, queremos encontrar os últimos dois dígitos de 3^2 equiv 9 equiv 4 mod 5 , ou seja, 3^4 equiv 4^2 = 16 equiv 1 mod 5 . Usamos o Teorema de Euler, que diz que se 3^10 = (3^4)^2 times 3^2 equiv 1^2 times 4 = 4 mod 5 e 42 equiv 2 mod 5 são coprimos, então:
2^5 = 32 equiv 2 mod 5
Onde 42^5 equiv 2 mod 5 é a função totiente de Euler. Como 11 e 100 são coprimos, 6 equiv 1 mod 5 . Então:
1^8 = 1 mod 5
Dividindo o expoente 100 por 40:
3^10 cdot 42^5 + 6^8 equiv 4 times 2 + 1 = 8 + 1 = 9 equiv 4 mod 5
Portanto:
Agora, calculamos :
Notamos que
Então:
Calculando sucessivamente:
Portanto, .
c) Encontrar o resto de dividido por 5
Vamos calcular cada parte separadamente módulo 5:
  1. :
Como , então:
  1. :
Então:
  1. :
Agora, juntamos tudo:

Resposta

a) O resto é 1
b) O resto é 1
c) O resto é 4

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