(2.0 ptos) Diga se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. Justifique sua resposta.
(b) S: R^3 R^3 onde H(x, y, z)=(3 z-2 x, x+y+z, y-2 x).

Passo 1

Vamos resolver a questão de verificar se a transformação linear definida por é um isomorfismo. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e isomorfismos, que basicamente nos dizem quando duas estruturas são “equivalentes” em termos de transformação. Precisamos verificar se é uma bijeção, ou seja, se é injetora e sobrejetora.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação A = -2 & 0 & 3 1 & 1 & 1 -2 & 1 & 0 por uma matriz. Cada componente da transformação corresponde a uma combinação linear das variáveis . Assim, a matriz associada a é:

Passo 3

Agora, para verificar se é um isomorfismo, precisamos saber se essa matriz é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante é diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .

Passo 4

Calculando o determinante de det(A) = -2 cdot 1 & 1 1 & 0 - 0 cdot 1 & 1 -2 & 0 + 3 cdot 1 & 1 -2 & 1 :
1 & 1 1 & 0 = (1)(0) - (1)(1) = -1
Calculando cada menor:
1 & 1 -2 & 1 = (1)(1) - (1)(-2) = 1 + 2 = 3
det(A) = -2(-1) - 0 + 3(3) = 2 + 0 + 9 = 11
Então:

Passo 5

Como o determinante de é 11, que é diferente de zero, isso significa que a matriz é invertível. Portanto, a transformação linear é um isomorfismo.

Resposta

Sim, a transformação é um isomorfismo porque a matriz associada a ela é invertível ( ).

Exercícios relacionados