(2.0 ptos) Diga se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. Justifique sua resposta.
(b) onde .
Passo 1
Vamos resolver a questão de verificar se a transformação linear definida por é um isomorfismo. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e isomorfismos, que basicamente nos dizem quando duas estruturas são “equivalentes” em termos de transformação. Precisamos verificar se é uma bijeção, ou seja, se é injetora e sobrejetora.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação por uma matriz. Cada componente da transformação corresponde a uma combinação linear das variáveis . Assim, a matriz associada a é:
Passo 3
Agora, para verificar se é um isomorfismo, precisamos saber se essa matriz é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante é diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .