Ache os restos das seguintes divisões: b) 11^100 por 100

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o resto da divisão de por 100. Esse tipo de problema está relacionado com o estudo de números inteiros e divisibilidade, mais especificamente com aritmética modular. Para resolver, vamos precisar entender como calcular potências grandes e encontrar seus restos quando divididas por um número, no caso, 100.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa encontrar o resto de dividido por 100. Isso é o mesmo que calcular . A aritmética modular ajuda a simplificar esse cálculo, especialmente com potências grandes.

Passo 3

Sabemos que quando trabalhamos com mod 100, estamos interessados apenas nos últimos dois dígitos do número. Então, vamos observar o padrão dos últimos dois dígitos das potências de 11.

Passo 4

Vamos calcular as primeiras potências de 11 e observar os restos:
11^1 &= 11 mod 100 = 11 11^2 &= 121 mod 100 = 21 11^3 &= 11 times 21 = 231 mod 100 = 31 11^4 &= 11 times 31 = 341 mod 100 = 41 11^5 &= 11 times 41 = 451 mod 100 = 51 11^6 &= 11 times 51 = 561 mod 100 = 61 11^7 &= 11 times 61 = 671 mod 100 = 71 11^8 &= 11 times 71 = 781 mod 100 = 81 11^9 &= 11 times 81 = 891 mod 100 = 91 11^10 &= 11 times 91 = 1001 mod 100 = 1

Passo 5

Observamos que . Isso é super útil porque podemos usar essa informação para simplificar .

Passo 6

Podemos reescrever (11^10)^10 mod 100 = 1^10 mod 100 = 1 como . Sabendo que , temos:

Resposta

O resto da divisão de por 100 é 1.

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