Determine uma equação da reta que passa pelo ponto que é solução do sistema S e é paralela ao vetor u=(2, 15)
S=c 2 x-y=1 x+y=8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação de uma reta que passa pelo ponto que resolve o sistema e que seja paralela ao vetor . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de sistemas lineares e de geometria analítica, como encontrar pontos de interseção e entender o que significa ser paralelo a um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema S = c 2x - y = 1 x + y = 8 para encontrar o ponto de interseção das duas retas. O sistema é:
2x - y + x + y = 1 + 8 3x = 9 x = 3
Podemos resolver isso usando o método da adição. Vamos somar as duas equações para eliminar o 3 + y = 8 y = 5 :
Agora que temos , vamos substituir na segunda equação para encontrar :
Então, o ponto que resolve o sistema é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a equação da reta que passa por m = uyux = 152 = 110 e é paralela ao vetor . Para isso, vamos entender que o vetor paralelo à reta indica a direção da reta. Podemos obter o coeficiente angular (inclinação) da reta a partir das componentes do vetor.
A inclinação de uma reta paralela a é dada por:

Passo 4

Agora que temos o ponto y - y1 = m(x - x1) e a inclinação y - 5 = 110(x - 3) , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
y = 110x - 310 + 5 y = 110x + 4710
Substituindo os valores:
Podemos deixar essa equação em diferentes formas, mas vamos simplificar para a forma reduzida:

Resposta

A equação da reta desejada é:
y = 110x + 4710

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