Resolver os sistemas de equações lineares abaixo indicados pelo método da matriz inversa.
21.1 x-z & =m -2 x+3 y+4 z & =1 y+z & =2 m

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método da matriz inversa. O sistema que temos é:
x - z = m -2x + 3y + 4z = 1 y + z = 2m
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar o sistema em forma de matriz e, em seguida, encontrar a matriz inversa para encontrar as soluções das variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial A = 1 & 0 & -1 -2 & 3 & 4 0 & 1 & 1 , x = x y z , b = m 1 2m , onde é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas e é o vetor dos termos constantes.
Assim, temos:

Passo 3

Agora, para encontrar x = A^-1 cdot b , precisamos multiplicar ambos os lados da equação por (a matriz inversa de ):
Então, nosso próximo passo é encontrar .

Passo 4

Para encontrar a matriz inversa det(A) = 1 cdot (3 cdot 1 - 4 cdot 1) - 0 cdot (-2 cdot 1 - 4 cdot 0) + (-1) cdot (-2 cdot 1 - 3 cdot 0) = 1 cdot (-1) - 0 + (-1) cdot (-2) = -1 + 2 = 1 , primeiro calculamos o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a matriz inversa existe.
Calculando o determinante de :
Como , a matriz inversa existe.

Passo 5

Agora, encontramos a matriz adjunta de A^-1 = 3 & -1 & -4 2 & 1 & 2 -3 & 2 & 2 e, em seguida, :
A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de . Calculando os cofatores e transpondo, obtemos:
Como , basta multiplicar a adjunta por , que é 1, então é a própria adjunta.

Passo 6

Agora, multiplicamos x = A^-1 cdot b = 3 & -1 & -4 2 & 1 & 2 -3 & 2 & 2 cdot m 1 2m pelo vetor x = 3m - 1 cdot 1 - 4 cdot 2m = 3m - 1 - 8m = -5m - 1 para encontrar y = 2m + 1 cdot 1 + 2 cdot 2m = 2m + 1 + 4m = 6m + 1 :
z = -3m + 2 cdot 1 + 2 cdot 2m = -3m + 2 + 4m = m + 2
Calculando cada componente:

Resposta

As soluções do sistema são:
x = -5m - 1, y = 6m + 1, z = m + 2

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