Ache uma reta que passa pelo ponto (1,2,3) e que forma ângulos de 45^circ e 60^circ com os eixos x e y, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: "Encontre uma reta que passa pelo ponto (1, 2, 3) e que forma ângulos de 45° e 60° com os eixos x e y, respectivamente."
Isso envolve geometria analítica no espaço tridimensional. Vamos precisar entender sobre retas no espaço, vetores diretores e ângulos entre vetores e eixos. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma reta no espaço. Uma reta pode ser descrita usando um ponto por onde ela passa e um vetor diretor que indica a direção da reta. A equação paramétrica fica assim:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
Onde é o ponto dado (no caso, (1, 2, 3)) e é o vetor diretor. Nosso objetivo é encontrar esse vetor diretor que forma os ângulos de 45° e 60° com os eixos x e y, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar o vetor diretor, vamos usar o conceito de cossenos diretores. Os cossenos diretores relacionam os ângulos que o vetor forma com cada um dos eixos coordenados. Eles são definidos por:
cos alpha = araiza^2 + b^2 + c^2 cos beta = braiza^2 + b^2 + c^2 cos gamma = craiza^2 + b^2 + c^2
Aqui, , e são os ângulos que o vetor forma com os eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 4

Sabemos que a reta forma ângulos de 45° com o eixo x e 60° com o eixo y. Portanto:
cos 45° = araiza^2 + b^2 + c^2 cos 60° = braiza^2 + b^2 + c^2
Calculando os cossenos:
cos 45° = raiz22 cos 60° = 12

Passo 5

Vamos chamar a magnitude do vetor diretor de raiz22 = ak Rightarrow a = raiz22 cdot k 12 = bk Rightarrow b = 12 cdot k . Assim, podemos reescrever as equações:
a = raiz22 cdot 2 = raiz2 b = 12 cdot 2 = 1
Como temos duas equações e três incógnitas, podemos escolher um valor para k = raiza^2 + b^2 + c^2 2 = raiz (raiz2)^2 + 1^2 + c^2 2 = raiz2 + 1 + c^2 2 = raiz3 + c^2 . Para simplificar, vamos assumir que 4 = 3 + c^2 c^2 = 1 c = pm 1 . Assim:
Agora, precisamos encontrar . Usando a relação da magnitude:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Escolheremos (poderia ser -1 também, dependendo da direção desejada).

Passo 6

Agora que temos o vetor diretor x = 1 + raiz2 cdot t y = 2 + 1 cdot t z = 3 + 1 cdot t e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta:
Onde é o parâmetro real.

Resposta

A reta que passa pelo ponto (1, 2, 3) e forma ângulos de 45° e 60° com os eixos x e y, respectivamente, pode ser descrita pelas equações paramétricas:
x = 1 + raiz2 , t y = 2 + t z = 3 + t

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